अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)
मुख्य सूत्र और नियम (Formulae & Rules)*
* **अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic):** प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
* **LCM और HCF में संबंध:**
HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
(दो संख्याओं का गुणनफल = उनके HCF और LCM का गुणनफल)
* **अपरिमेय संख्या (Irrational Number):** ऐसी संख्या जिसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता (जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0)। जैसे: √2, √3, √5 आदि।
हल किए गए प्रश्न (Solved Questions)
**प्र.1. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए और फिर इनका LCM भी ज्ञात कीजिए।
**हल:**
96 और 404 का अभाज्य गुणनखंड करने पर:
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁵ × 3
404 = 2 × 2 × 101 = 2² × 101
HCF (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात):
**HCF(96, 404) = 2² = 4**
LCM के सूत्र से:
HCF × LCM = 96 × 404
4 × LCM = 38784
LCM = 38784 / 4
**LCM = 9696**
**प्र.2. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।**
**हल:**
मान लीजिए √5 एक परिमेय संख्या है।
अतः √5 = a/b (जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0)
दोनों ओर वर्ग करने पर:
5 = a² / b²
5b² = a² — (समीकरण 1)
यह दर्शाता है कि a², 5 से विभाजित होता है। अतः **a भी 5 से विभाजित होगा**।
मान लीजिए a = 5c (जहाँ c कोई पूर्णांक है)
a का मान समीकरण 1 में रखने पर:
5b² = (5c)²
5b² = 25c²
b² = 5c² — (समीकरण 2)
यह दर्शाता है कि b², 5 से विभाजित होता है। अतः **b भी 5 से विभाजित होगा**।
समीकरण 1 और 2 से यह स्पष्ट है कि a और b दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।
परंतु यह हमारी इस कल्पना का विरोधाभास है कि a और b सह-अभाज्य हैं।
**अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है।
**प्र.3. दो संख्याओं का HCF 23 और उनका LCM 1449 है। यदि इनमें से एक संख्या 161 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
**हल:**
सूत्र: पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM
मान मान रखने पर:
161 × दूसरी संख्या = 23 × 1449
दूसरी संख्या = (23 × 1449) / 161
दूसरी संख्या = 33327 / 161
**दूसरी संख्या = 207
3. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)
Q1. संख्या 140 को इसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
Q2. यदि HCF(306, 657) = 9 दिया है, तो LCM(306, 657) ज्ञात कीजिए।
Q3. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
Q4. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 12, 15 और 21 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
Q5. जांच कीजिए कि क्या किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
उत्तर कुंजी (Answer Keys)
Q1. 2² × 5 × 7 (या 2 × 2 × 5 × 7)
Q2. LCM = 22338
Q3. (√5 एक अपरिमेय संख्या है, अतः 3 + 2√5 भी अपरिमेय होगी)
Q4. HCF = 3 ; LCM = 420
Q5. नहीं (क्योंकि 6ⁿ का अभाज्य गुणनखंड 2ⁿ × 3ⁿ है, इसमें 5 नहीं आता)
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