प्री-बोर्ड परीक्षा (2025-26) गणित (Basic)
सम्पूर्ण विस्तृत हल (सभी विकल्पों सहित)
खंड-अ (Section A) - बहुविकल्पीय प्रश्न (1 अंक)
प्र.1: रैखिक समीकरण 3x - 2y = 5 और 2x + y = 3 का हल।
तुलना करने पर: a₁=3, b₁=-2 और a₂=2, b₂=1
अनुपात: a₁/a₂ = 3/2 और b₁/b₂ = -2/1
चूँकि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
उत्तर: (b) एक हल है (अद्वितीय)
प्र.2: इमारत की ऊँचाई और छाया का अनुपात 1:1 है।
tan θ = ऊँचाई / छाया = 1/1 = 1
हम जानते हैं tan 45° = 1 होता है।
उत्तर: (c) 45°
प्र.3: व्यास के बिंदु (4,6) और (-1,1)। त्रिज्या ज्ञात करें।
व्यास (d) = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
d = √[(-1-4)² + (1-6)²] = √[(-5)² + (-5)²] = √50 = 5√2
त्रिज्या = व्यास / 2 = 5√2 / 2
उत्तर: (b) 5√2 / 2 इकाई
प्र.4: ΔABC ~ ΔEDF, ∠A=∠E=50°, ∠F=48°। ∠C का मान?
समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं।
चूँकि ΔABC ~ ΔEDF, तो ∠C = ∠F होगा।
दिया है ∠F = 48°, इसलिए ∠C = 48°।
उत्तर: (c) 48°
प्र.5: क्षेत्रफल अनुपात 9:16। परिधि अनुपात?
क्षेत्रफल अनुपात = (r₁/r₂)² = 9/16 ⇒ r₁/r₂ = 3/4
परिधि का अनुपात त्रिज्या के अनुपात के बराबर होता है।
उत्तर: (d) 3:4
प्र.6: sin(α+β) = 0, तो sec(α+β) का मान।
sin θ = 0 ⇒ θ = 0°। अतः (α+β) = 0°।
sec(0°) का मान 1 होता है।
उत्तर: (b) 1
प्र.7: 6 शून्यक है x² - px - 18 का। p का मान?
x=6 रखने पर: (6)² - p(6) - 18 = 0
36 - 6p - 18 = 0 ⇒ 18 = 6p ⇒ p = 3
उत्तर: (a) 3
प्र.8: माध्य = a (आँकड़े: 7, 8, a, 11, 14)।
माध्य = योग / संख्या ⇒ a = (7+8+a+11+14) / 5
5a = 40 + a ⇒ 4a = 40 ⇒ a = 10
उत्तर: (a) 10
प्र.9: 5√81 का प्रकार?
√81 = 9। अतः 5 × 9 = 45
45 एक पूर्णांक और परिमेय संख्या है।
उत्तर: (c) एक परिमेय संख्या
प्र.10: 2y - p ज्ञात करें (जहाँ p=2tan²θ, y=1+sec²θ)।
2y - p = 2(1+sec²θ) - 2tan²θ
= 2 + 2(sec²θ - tan²θ)
सूत्र sec²θ - tan²θ = 1 का प्रयोग करने पर: 2 + 2(1) = 4
उत्तर: (b) 4
प्र.11: शीर्ष (0,12), (0,0), (5,0) वाले त्रिभुज का परिमाप।
लंब = 12, आधार = 5। कर्ण = √(12²+5²) = √169 = 13।
परिमाप = 12 + 5 + 13 = 30
उत्तर: (a) 30 इकाई
प्र.12: DE=4EX, FY=2। DY का मान?
BPT प्रमेय से: DX/XE = DY/YF
DE=4EX ⇒ DX = 3EX। अनुपात 3:1 है।
DY/2 = 3/1 ⇒ DY = 6
उत्तर: (d) 6 cm
प्र.13: 15, p, q, -3 (AP में)। p-q का मान?
d = (a₄ - a) / 3 = (-3 - 15) / 3 = -18/3 = -6
p = 15 + (-6) = 9
q = 9 + (-6) = 3
p - q = 9 - 3 = 6
उत्तर: (a) 6
प्र.14: त्रिज्या 5, केंद्र से दूरी 13। स्पर्श रेखा?
पाइथागोरस प्रमेय: स्पर्श रेखा = √(13² - 5²) = √144 = 12
उत्तर: (c) 12 cm
प्र.15: 6 cm वर्ग में अंतर्निहित वृत्त का क्षेत्रफल।
वृत्त का व्यास = वर्ग की भुजा = 6 cm। त्रिज्या = 3 cm।
क्षेत्रफल = πr² = π(3)² = 9π
उत्तर: (c) 9π cm²
प्र.16: ΔLMN और ΔXYZ में ∠Y=∠L, ∠Z=∠M, XY=2LN।
कोण समान हैं (AA नियम) → समरूप हैं।
भुजाएँ समान नहीं हैं (अनुपात 2:1) → सर्वांगसम नहीं हैं।
उत्तर: (b) समरूप लेकिन सर्वांगसम नहीं
प्र.17: 15 खराब, 150 सही। खराब की प्रायिकता?
कुल = 165। P(खराब) = 15/165 = 1/11
उत्तर: (d) 1/11
प्र.18: स्पर्श रेखा की लंबाई (दूरी 25, त्रिज्या 24)।
√(25² - 24²) = √49 = 7
उत्तर: (c) 7 cm
प्र.19: अभिकथन-तर्क (Trigonometry)।
अभिकथन: cos θ = 5/3 संभव नहीं है (सही, मान 1 से कम होना चाहिए)।
तर्क: कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है (सही)।
उत्तर: (a) दोनों सत्य, R सही व्याख्या है
प्र.20: अभिकथन-तर्क (Coordinate Geometry)।
विभाजन सूत्र का प्रयोग करके (5, -14/3) सही आता है। सूत्र भी सही है।
उत्तर: (a) दोनों सत्य, R सही व्याख्या है
खंड-ब (Section B) - अति लघु उत्तरीय (2 अंक)
प्र.21: px² + 3x - 2 = 0 का एक मूल 2 है। p ज्ञात करें।
x = 2 प्रतिस्थापित करने पर:
p(2)² + 3(2) - 2 = 0
4p + 6 - 2 = 0
4p = -4 ⇒ p = -1
उत्तर: p = -1
प्र.22: टॉवर की ऊँचाई (आधार से 25m, कोण 30°)।
tan 30° = ऊँचाई / आधार
1/√3 = h / 25
h = 25/√3 = 25√3/3 मीटर
उत्तर: 25√3/3 m
प्र.23 (क): क्या 12ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकता है?
12 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 हैं।
शून्य पर समाप्त होने के लिए गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों का होना आवश्यक है।
यहाँ 5 नहीं है, अतः यह कभी 0 पर समाप्त नहीं होगी।
अथवा (OR)
प्र.23 (ख): 2×2×3×3×3×7×11 + 51 भाज्य है या अभाज्य?संख्या = (2×2×3×3×3×7×11) + (17×3) [क्योंकि 51 = 17×3]
दोनों पदों में '3' उभयनिष्ठ (Common) है।
3 × [ (2×2×3×3×7×11) + 17 ]
चूँकि इसका 1 और स्वयं के अलावा एक गुणनखंड '3' है, यह भाज्य है।
उत्तर: भाज्य संख्या
प्र.24: सिद्ध करें बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
दिया है: वृत्त O, बाहरी बिंदु P, स्पर्श रेखाएँ PA और PB।
सिद्ध करना है: PA = PB।
उपपत्ति: ΔOAP और ΔOBP में:
1. ∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या ⊥ स्पर्श रेखा)
2. OA = OB (त्रिज्याएँ)
3. OP = OP (उभयनिष्ठ)
RHS नियम से ΔOAP ≅ ΔOBP।
अतः CPCT से PA = PB। (इति सिद्धम्)
प्र.25: cosec θ = 13/5, तो cot θ का मान।
cosec θ = H/P = 13/5।
B = √(H² - P²) = √(169 - 25) = 12
cot θ = B/P = 12/5
उत्तर: 12/5
अथवा (OR)
मान ज्ञात करें: (tan²60 + sin²45) / (cosec 30 + sec 60)मान रखने पर: [(√3)² + (1/√2)²] / [2 + 2]
= [3 + 1/2] / 4
= 3.5 / 4 = 7/8
उत्तर: 7/8
खंड-स (Section C) - लघु उत्तरीय (3 अंक)
प्र.26 (क): सिद्ध करें स्पर्श रेखाएँ जीवा के साथ समान कोण बनाती हैं।
माना PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं और AB जीवा है।
हम जानते हैं PA = PB (बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ)।
अतः ΔPAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अतः ∠PAB = ∠PBA (सिद्ध हुआ)
अथवा (OR)
प्र.26 (ख): सिद्ध करें स्पर्श रेखाओं और त्रिज्याओं से बना चतुर्भुज चक्रीय है।चतुर्भुज OAPB में, ∠OAP = 90° और ∠OBP = 90° (त्रिज्या और स्पर्श रेखा)।
चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।
∠APB + ∠AOB + 90° + 90° = 360°
∠APB + ∠AOB = 180°
चूँकि सम्मुख कोणों का योग 180° है, OAPB एक चक्रीय चतुर्भुज है।
प्र.27: समांतर चतुर्भुज A(-4,3), B(x,2), C(6,y), D(3,4)। x, y ज्ञात करें।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
AC का मध्य बिंदु = BD का मध्य बिंदु
[(-4+6)/2, (3+y)/2] = [(x+3)/2, (2+4)/2]
1 = (x+3)/2 ⇒ 2 = x+3 ⇒ x = -1
(3+y)/2 = 3 ⇒ 3+y = 6 ⇒ y = 3
AC की लंबाई = √[(6-(-4))² + (3-3)²] = 10
BD की लंबाई = √[(3-(-1))² + (4-2)²] = √20 = 2√5
उत्तर: x=-1, y=3; विकर्ण: 10, 2√5
प्र.28: 6x² + 6√3x + 3 = 0 के मूल।
D = b² - 4ac = (6√3)² - 4(6)(3) = 108 - 72 = 36
x = (-b ± √D) / 2a = (-6√3 ± 6) / 12
x = 6(-√3 ± 1) / 12
उत्तर: (-√3 + 1)/2 और (-√3 - 1)/2
प्र.29 (क): 5x² - 8x - 4, α² + β² ज्ञात करें।
α+β = 8/5, αβ = -4/5
α² + β² = (α+β)² - 2αβ
= (8/5)² - 2(-4/5) = 64/25 + 8/5
= (64 + 40) / 25 = 104/25
उत्तर: 104/25
अथवा (OR)
प्र.29 (ख): द्विघात बहुपद (योग -4, गुणनफल 12)।सूत्र: x² - (योग)x + गुणनफल
= x² - (-4)x + 12 = x² + 4x + 12
मूलों के लिए D = 16 - 48 = -32 (<0)। कोई वास्तविक शून्यक नहीं।
उत्तर: बहुपद x² + 4x + 12
प्र.30: 20 मिनट में रचित क्षेत्रफल (सुई 21 cm)।
कोण = (360/60) × 20 = 120°
क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
= (120/360) × (22/7) × 21 × 21
= (1/3) × 22 × 3 × 21 = 22 × 21 = 462
उत्तर: 462 cm²
प्र.31: सिद्ध करें 4√3 + 3 अपरिमेय है।
माना 4√3 + 3 एक परिमेय संख्या (r) है।
4√3 = r - 3
√3 = (r - 3) / 4
यहाँ RHS (दायां पक्ष) परिमेय है, लेकिन हम जानते हैं कि √3 अपरिमेय है।
यह विरोधाभास है। अतः हमारी मान्यता गलत है।
अतः 4√3 + 3 एक अपरिमेय संख्या है।
खंड-द (Section D) - दीर्घ उत्तरीय (5 अंक)
प्र.32: सर्कस का तम्बू (बेलन 10m + शंकु)। व्यास 56m, कुल ऊँचाई 31m।
बेलन h = 10m, r = 28m। शंकु ऊँचाई = 31 - 10 = 21m।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(21² + 28²) = √(441 + 784) = √1225 = 35m।
कपड़े का क्षेत्रफल = बेलन CSA + शंकु CSA = 2πrh + πrl
= (22/7) × 28 × [2(10) + 35] = 88 × 55 = 4840 m²
लागत = 4840 × 7 = 33880
उत्तर: ₹33,880
अथवा (OR)
खिलौना (अर्धगोला + शंकु)। आयतन और अंतर ज्ञात करें।शंकु h=24, r=10। अर्धगोला r=10।
खिलौने का आयतन = 1/3πr²h + 2/3πr³
= 1/3 × 3.14 × 100 × (24 + 20) = (314/3) × 44 ≈ 4605.33 cm³
बेलनाकार बॉक्स (h=34, r=10) का आयतन = πr²H = 3.14 × 100 × 34 = 10676 cm³
अंतर (तरल की मात्रा) = 10676 - 4605.33 = 6070.67 cm³
उत्तर: खिलौना V ≈ 4605.33 cm³, तरल V ≈ 6070.67 cm³
प्र.33: आयु प्रश्न (कुश और बेटी)।
माना कुश = x, बेटी = y।
6 साल बाद: x+6 = 3(y+6) ⇒ x - 3y = 12 ...(i)
3 साल पहले: x-3 = 9(y-3) ⇒ x - 9y = -24 ...(ii)
समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर: 6y = 36 ⇒ y = 6
x - 18 = 12 ⇒ x = 30
उत्तर: कुश 30 वर्ष, बेटी 6 वर्ष
प्र.34: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) सिद्ध करें।
कथन: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
सिद्ध करना है: AD/DB = AE/EC
उपपत्ति: त्रिभुज के क्षेत्रफल (1/2 × आधार × लंब) का उपयोग करें।
Area(ADE)/Area(BDE) = AD/DB और Area(ADE)/Area(DEC) = AE/EC।
चूँकि ΔBDE और ΔDEC एक ही आधार और समांतर रेखाओं के बीच हैं, उनके क्षेत्रफल समान हैं।
अतः AD/DB = AE/EC।
प्र.35: 3 सिक्कों को उछालने पर प्रायिकता।
कुल परिणाम (S) = 8 {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
(i) सभी पट (TTT): 1/8
(ii) ठीक दो पट: 3/8
(iii) ठीक एक चित: 3/8
(iv) कम से कम दो चित: 4/8 = 1/2
(v) अधिकतम दो पट: 7/8
अथवा (OR)
दो पासे फेंकने पर प्रायिकता (कुल 36)।(i) दोनों अभाज्य (2,3,5 के जोड़े): 9 परिणाम (जैसे 2,2; 2,3...)। P = 9/36 = 1/4
(ii) योग 9 (3,6; 4,5; 5,4; 6,3): 4 परिणाम। P = 4/36 = 1/9
खंड-ई (Section E) - केस स्टडी (4 अंक)
प्र.36: ऊँचाई और दूरी (केस स्टडी)।
इमारत 70m। कोण 45° (इमारत शीर्ष) और 60° (टॉवर शीर्ष)।
(i) P की दूरी: tan 45 = 70/d ⇒ d = 70 m
(ii) टॉवर ऊँचाई: tan 60 = (70+h)/70 ⇒ 70√3 = 70+h ⇒ h = 70(√3-1) m
(iii) (क) कार की दूरी: tan 30 = (70√3)/d ⇒ 1/√3 = 70√3/d ⇒ d = 210 m
अथवा (OR)
(iii) (ख) बाज़ की ऊँचाई: टॉवर शीर्ष = 70(1.732) = 121.24 m। बाज़ = 121.24 + 23 = 144.24 m
प्र.37: वृक्षारोपण (AP)। a=5, d=12।
(i) 5वें पेड़ की दूरी: a + 4d = 5 + 48 = 53 m
(ii) 7वें पेड़ की दूरी: a + 6d = 5 + 72 = 77 m
(iii) (क) 10 पेड़ों के लिए कुल दूरी:
S₁₀ = 5[2(5) + 9(12)] = 5[10 + 108] = 590। दोतरफा यात्रा = 2 × 590 = 1180 m
अथवा (OR)
(iii) (ख) 20 पेड़ों के लिए कुल दूरी:
S₂₀ = (20/2)[2(5) + 19(12)] = 10[10 + 228] = 10[238] = 2380।
दोतरफा यात्रा = 2 × 2380 = 4760 m
प्र.38: सांख्यिकी (अस्पताल)।
(i) माध्यक वर्ग: N/2 = 40। संचयी बारंबारता में 40, वर्ग 35-45 में आता है।
(ii) बहुलक वर्ग: अधिकतम बारंबारता 23 है। वर्ग 35-45।
(iii) (क) माध्य आयु: Σfx / Σf = 2830 / 80 = 35.375 वर्ष
अथवा (OR)
(iii) (ख) बहुलक आयु:
l=35, f₁=23, f₀=21, f₂=14, h=10
Mode = 35 + [(23-21)/(46-21-14)] × 10
= 35 + [2/11] × 10 = 35 + 1.81 = 36.81 वर्ष