Ex-2 बहुपद
संक्षिप्त सूत्र (Quick Formula)
• द्विघात बहुपद: ax² + bx + c
• शून्यकों का योग (α + β): -b/a
• शून्यकों का गुणनफल (α · β): c/a
• बहुपद बनाने का नियम: x² – (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल)
हल सहित प्रश्न (Solved Questions)
बहुपद (Polynomials) – अध्याय 2 के 5 हल किए गए प्रश्न
प्र.1. बहुपद 4x² – 4x + 1 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच कीजिए।
हल:
4x² – 4x + 1 = 0
4x² – 2x – 2x + 1 = 0
2x(2x – 1) – 1(2x – 1) = 0
(2x – 1)(2x – 1) = 0
2x – 1 = 0 ⇒ x = ½
शून्यक (α और β): α = ½, β = ½
जाँच (यहाँ a = 4, b = -4, c = 1):
• शून्यकों का योग (α + β): ½ + ½ = 1
-b/a = -(-4)/4 = 1
• शून्यकों का गुणनफल (α · β): ½ × ½ = ¼
c/a = ¼
प्र.2. यदि α और β बहुपद p(x) = x² – 7x + k के शून्यक हैं और α – β = 1 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 1, b = -7, c = k
α + β = -b/a = -(-7)/1 = 7 — (समीकरण 1)
α · β = c/a = k — (समीकरण 2)
दिया गया है: α – β = 1 — (समीकरण 3)
समीकरण 1 और 3 को जोड़ने पर:
2α = 8 ⇒ α = 4
α का मान समीकरण 1 में रखने पर:
4 + β = 7 ⇒ β = 3
समीकरण 2 से:
k = α · β
k = 4 × 3
k = 12
प्र.3. यदि बहुपद ax² – 6x – 6 के शून्यकों का गुणनफल 4 है, तो a का मान ज्ञात कीजिए और फिर इसके शून्यक भी ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = a, b = -6, c = -6
शून्यकों का गुणनफल (α · β) = c/a = 4
-6/a = 4
4a = -6
a = -6/4 = -3/2
a का मान बहुपद में रखने पर:
(-3/2)x² – 6x – 6 = 0
समीकरण को -2 से गुणा करने पर: 3x² + 12x + 12 = 0
3 से भाग देने पर: x² + 4x + 4 = 0
गुणनखंड करने पर:
(x + 2)² = 0
x = -2, -2
उत्तर: a = -3/2 और शून्यक: x = -2, -2
प्र.4. यदि α और β बहुपद x² – 6x + a के शून्यक हैं तथा 3α + 2β = 20 है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
बहुपद से:
α + β = 6 ⇒ β = 6 – α — (समीकरण 1)
α · β = a — (समीकरण 2)
दिया गया है: 3α + 2β = 20
β का मान रखने पर:
3α + 2(6 – α) = 20
3α + 12 – 2α = 20
α + 12 = 20
α = 8
β का मान:
β = 6 – 8 = -2
a का मान (समीकरण 2 से):
a = α · β
a = 8 × (-2)
a = -16
प्र.5. यदि बहुपद p(x) = kx² + 4x + 4 के शून्यक α और β इस प्रकार हैं कि α² + β² = 24, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
बहुपद से:
α + β = -4/k
α · β = 4/k
सर्वसमिका: α² + β² = (α + β)² – 2(α · β)
मान रखने पर:
24 = (-4/k)² – 2(4/k)
24 = 16/k² – 8/k
k² से गुणा करने पर:
24k² = 16 – 8k
24k² + 8k – 16 = 0
8 से भाग देने पर:
3k² + k – 2 = 0
गुणनखंड:
3k² + 3k – 2k – 2 = 0
3k(k + 1) – 2(k + 1) = 0
(3k – 2)(k + 1) = 0
उत्तर:k = ⅔ या k = -1
प्रश्न (Practice Questions)
Q1. द्विघात बहुपद p(x) = x² – 5x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Q2. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग (α + β) = -4 और शून्यकों का गुणनफल (α · β) = 3 है, तो द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए।
Q3. बहुपद 4x² – 4x + 1 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच कीजिए।
Q4. यदि α और β बहुपद p(x) = x² – 7x + k के शून्यक हैं और α – β = 1 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Q5. द्विघात बहुपद x² + 9x + 20 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Q6. यदि α और β द्विघात बहुपद f(x) = 2x² – 5x + 7 के शून्यक हैं, तो ऐसा बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक (2α + 3β) और (3α + 2β) हों।
Q7. यदि बहुपद ax² – 6x – 6 के शून्यकों का गुणनफल 4 है, तो a का मान ज्ञात कीजिए और फिर इसके शून्यक भी ज्ञात कीजिए।
Q8. यदि बहुपद p(x) = kx² + 4x + 4 के शून्यक α और β इस प्रकार हैं कि α² + β² = 24, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Q9. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक √2 तथा -√2 हैं।
Q10. यदि α और β बहुपद x² – 6x + a के शून्यक हैं तथा 3α + 2β = 20 है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर कुंजी (Answer Keys)
Q1. x = 2, 3
Q2. x² + 4x + 3
Q3. x = ½, ½
Q4. k = 12
Q5. x = -4, -5
Q6. 2x² – 25x + 82
Q7. a = -3/2 ; शून्यक: x = -2, 6
Q8. k = ⅔ या k = -1
Q9. x² – 2
Q10. a = -16
Click here for more Notes for Class Xth –CLICK