खण्ड-क (Section A): बहुविकल्पीय प्रश्न
1. (i) निम्नलिखित में से कौन-सा बीजीय सर्वसमिका है?
हल (Solution):
सही मानक सर्वसमिका विकल्प (b) है।
उत्तर: (b) $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
1. (ii) एक घन का आयतन $64~cm^{3}$ है। इसकी भुजा की लंबाई है:
हल (Solution):
घन का आयतन $= (\text{भुजा})^3$
$64 = (\text{भुजा})^3 \Rightarrow \text{भुजा} = \sqrt[3]{64} = 4$
$64 = (\text{भुजा})^3 \Rightarrow \text{भुजा} = \sqrt[3]{64} = 4$
उत्तर: (a) 4 cm
1. (iii) किसी संख्या का 5% यदि 10 है, तो वह संख्या है:
हल (Solution):
माना संख्या $x$ है।
$x \times \frac{5}{100} = 10 \Rightarrow x = \frac{10 \times 100}{5} = 200$
$x \times \frac{5}{100} = 10 \Rightarrow x = \frac{10 \times 100}{5} = 200$
उत्तर: (b) 200
1. (iv) पासा फेंकने पर विषम अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता है:
हल (Solution):
पासे पर कुल संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
विषम अभाज्य संख्याएँ (Odd Prime): 3, 5 (कुल 2 संख्याएँ)।
प्रायिकता $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
विषम अभाज्य संख्याएँ (Odd Prime): 3, 5 (कुल 2 संख्याएँ)।
प्रायिकता $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
उत्तर: (a) $\frac{1}{3}$
1. (v) निम्नलिखित में से कौन सा विषम संख्या का वर्ग है?
हल (Solution):
विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। दिए गए विकल्पों में केवल 225 विषम है (जो 15 का वर्ग है)।
उत्तर: (c) 225
1. (vi) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}$ के बराबर है:
हल (Solution):
$\sqrt{1 + 8 + 27} = \sqrt{36} = 6$
उत्तर: (c) 6
1. (vii) निम्नलिखित में से किस आकृति के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं?
हल (Solution):
वर्ग (Square) एक समांतर चतुर्भुज का प्रकार है जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
उत्तर: (a) वर्ग
1. (viii) संलग्न पाई चार्ट टीवी पर विभिन्न प्रकार के चैनल देखने वाले दर्शकों की जानकारी दर्शाता है। किस प्रकार के कार्यक्रम सबसे ज़्यादा देखे जाते हैं?
हल (Solution):
समाचार: 15%
मनोरंजन: 25%
खेल: 25%
सूचनात्मक = $100\% - (15\% + 25\% + 25\%) = 35\%$
चूंकि 35% सबसे अधिक है, इसलिए सूचनात्मक कार्यक्रम सबसे ज्यादा देखे गए।
मनोरंजन: 25%
खेल: 25%
सूचनात्मक = $100\% - (15\% + 25\% + 25\%) = 35\%$
चूंकि 35% सबसे अधिक है, इसलिए सूचनात्मक कार्यक्रम सबसे ज्यादा देखे गए।
उत्तर: सूचनात्मक
1. (ix) 36 के घन का इकाई अंक है:
हल (Solution):
संख्या 36 का अंतिम अंक 6 है। $6 \times 6 \times 6 = 216$. इकाई अंक 6 होगा।
उत्तर: (a) 6
1. (x) यदि किसी चतुर्भुज के तीन कोण $75^{\circ}$ के बराबर हों, तो चौथा कोण होगाः
हल (Solution):
चारों कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है。
चौथा कोण $= 360^{\circ} - (75^{\circ} + 75^{\circ} + 75^{\circ}) = 360^{\circ} - 225^{\circ} = 135^{\circ}$
चौथा कोण $= 360^{\circ} - (75^{\circ} + 75^{\circ} + 75^{\circ}) = 360^{\circ} - 225^{\circ} = 135^{\circ}$
उत्तर: (b) $135^{\circ}$
1. (xi) निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?
हल (Solution):
परिमेय संख्याओं के लिए घटाव (subtraction) क्रमविनिमेय (commutative) नहीं होता।
$\frac{1}{3}-\frac{2}{5} \neq \frac{2}{5}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}-\frac{2}{5} \neq \frac{2}{5}-\frac{1}{3}$
उत्तर: (b) $\frac{1}{3}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}-\frac{1}{3}$
1. (xii) निम्नलिखित में से कौन सा एक रैखिक व्यंजक है?
हल (Solution):
रैखिक व्यंजक में चर की अधिकतम घात 1 होती है। $y-5$ में $y$ की घात 1 है।
उत्तर: (d) $y-5$
खण्ड-ख (Section B)
2. पदों को पुनर्व्यवस्थित कर योग ज्ञात कीजिए:
$\frac{3}{5}+(-\frac{3}{8})+\frac{2}{5}+(-\frac{5}{8})$
$\frac{3}{5}+(-\frac{3}{8})+\frac{2}{5}+(-\frac{5}{8})$
हल (Solution):
$= (\frac{3}{5} + \frac{2}{5}) + (-\frac{3}{8} - \frac{5}{8})$
$= (\frac{5}{5}) + (-\frac{8}{8})$
$= 1 + (-1)$
$= 0$
$= (\frac{5}{5}) + (-\frac{8}{8})$
$= 1 + (-1)$
$= 0$
उत्तर: 0
3. (i) एक जन्मदिन की पार्टी में, बच्चे उपहार पाने के लिए एक पहिया घुमाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बच्चे को उपहार में:
(a) गेंद मिले
(b) खिलौना कार मिले
(a) गेंद मिले
(b) खिलौना कार मिले
हल (Solution):
पहिये में कुल भाग = 8.
(a) गेंद (Ball) के भाग = 2. प्रायिकता = $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
(b) कार (Car) के भाग = 3. प्रायिकता = $\frac{3}{8}$
(a) गेंद (Ball) के भाग = 2. प्रायिकता = $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
(b) कार (Car) के भाग = 3. प्रायिकता = $\frac{3}{8}$
उत्तर: (a) $\frac{1}{4}$, (b) $\frac{3}{8}$
--- अथवा (OR) ---
3. (ii) एक डिब्बे में 6 नींबू के स्वाद वाली कैंडी, 5 आम के स्वाद वाली कैंडी, 4 स्ट्रॉबेरी के स्वाद वाली कैंडी और 5 चॉकलेट के स्वाद वाली कैंडी हैं। मीरा डिब्बे में से यादृच्छिक रूप से एक कैंडी निकालती है। क्या प्रायिकता है कि चुनी गई कैंडी आम के स्वाद वाली हो?
हल (Solution):
कुल कैंडी $= 6 + 5 + 4 + 5 = 20$
आम (Mango) वाली कैंडी $= 5$
प्रायिकता $= \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
आम (Mango) वाली कैंडी $= 5$
प्रायिकता $= \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
उत्तर: $\frac{1}{4}$
4. एक वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि उसके विकर्ण की लंबाई 10 cm है।
हल (Solution):
माना भुजा $= a$
पाइथागोरस प्रमेय से: $a^2 + a^2 = (10)^2$
$2a^2 = 100 \Rightarrow a^2 = 50$
$a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ cm
पाइथागोरस प्रमेय से: $a^2 + a^2 = (10)^2$
$2a^2 = 100 \Rightarrow a^2 = 50$
$a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ cm
उत्तर: $5\sqrt{2}$ cm
5. तीन क्रमागत सम प्राकृतिक संख्याओं का योग 48 है। इनमें से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
माना संख्याएँ $x, x+2, x+4$ हैं।
$x + (x+2) + (x+4) = 48$
$3x + 6 = 48 \Rightarrow 3x = 42 \Rightarrow x = 14$
सबसे बड़ी संख्या $= x+4 = 14+4 = 18$
$x + (x+2) + (x+4) = 48$
$3x + 6 = 48 \Rightarrow 3x = 42 \Rightarrow x = 14$
सबसे बड़ी संख्या $= x+4 = 14+4 = 18$
उत्तर: 18
6. समान्तर चतुर्भुज ABCD में ∠B, ∠C और ∠D ज्ञात कीजिए। (दिया गया है ∠A = 80°)
हल (Solution):
समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं: $\angle C = \angle A = 80^{\circ}$
आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है: $\angle B = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$
$\angle D = \angle B = 100^{\circ}$
आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है: $\angle B = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$
$\angle D = \angle B = 100^{\circ}$
उत्तर: $\angle B=100^{\circ}, \angle C=80^{\circ}, \angle D=100^{\circ}$
7. उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग कर हल कीजिए: $(73)^{2}-(27)^{2}$
हल (Solution):
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$(73 - 27)(73 + 27)$
$= (46)(100)$
$= 4600$
$(73 - 27)(73 + 27)$
$= (46)(100)$
$= 4600$
उत्तर: 4600
खण्ड-ग (Section C)
8. (a) k का मान ज्ञात कीजिए: $(\frac{8}{5})^{-3}\times(\frac{8}{5})^{-9}=(\frac{8}{5})^{5k+3}$
हल (Solution):
आधार समान होने पर गुणा में घातें जुड़ती हैं:
$(\frac{8}{5})^{-3 + (-9)} = (\frac{8}{5})^{5k+3}$
$-12 = 5k + 3$
$-15 = 5k \Rightarrow k = -3$
$(\frac{8}{5})^{-3 + (-9)} = (\frac{8}{5})^{5k+3}$
$-12 = 5k + 3$
$-15 = 5k \Rightarrow k = -3$
उत्तर: $k = -3$
--- अथवा (OR) ---
8. (b) सरल कीजिए: $(\frac{1}{3})^{-3}+(\frac{1}{5})^{-2}+(\frac{1}{2})^{-4}$
हल (Solution):
ऋणात्मक घात को धनात्मक करने पर:
$= (3)^3 + (5)^2 + (2)^4$
$= 27 + 25 + 16$
$= 68$
$= (3)^3 + (5)^2 + (2)^4$
$= 27 + 25 + 16$
$= 68$
उत्तर: 68
9. प्रथम ने अपने डॉक्टर के निर्देशानुसार एक मेडिकल स्टोर से 4% वैट सहित ₹550 में दवाइयाँ खरीदीं। वैट जोड़ने से पहले की कीमत ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
माना मूल कीमत $= x$
$x + 4\% \text{ of } x = 550$
$1.04x = 550 \Rightarrow x = \frac{550}{1.04} \approx 528.85$
$x + 4\% \text{ of } x = 550$
$1.04x = 550 \Rightarrow x = \frac{550}{1.04} \approx 528.85$
उत्तर: ₹528.85
10. एक धातु की छड़ का द्रव्यमान उसकी लंबाई के समानुपाती होता है। यदि 15 cm लंबी छड़ का द्रव्यमान 195 g है, तो 270 g द्रव्यमान वाली छड़ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
$\frac{\text{लंबाई}_1}{\text{द्रव्यमान}_1} = \frac{\text{लंबाई}_2}{\text{द्रव्यमान}_2}$
$\frac{15}{195} = \frac{L_2}{270}$
$L_2 = \frac{15 \times 270}{195} = \frac{270}{13} \approx 20.76$ cm
$\frac{15}{195} = \frac{L_2}{270}$
$L_2 = \frac{15 \times 270}{195} = \frac{270}{13} \approx 20.76$ cm
उत्तर: 20.76 cm
खण्ड-घ (Section D)
11. एक घनाभाकार जलाशय की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 7 मीटर, 6 मीटर और 15 मीटर है। जलाशय से 8400 लीटर पानी पंप करके निकाला जाता है। जलाशय में जल स्तर में गिरावट ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
निकाला गया पानी का आयतन $= 8400$ लीटर $= 8.4$ घन मीटर ($1 m^3 = 1000 L$)
आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गिरावट (h)}$
$8.4 = 7 \times 6 \times h$
$h = \frac{8.4}{42} = 0.2$ मीटर
आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गिरावट (h)}$
$8.4 = 7 \times 6 \times h$
$h = \frac{8.4}{42} = 0.2$ मीटर
उत्तर: 20 cm (या 0.2 मीटर)
12. (i) एक स्कूल के कुल विद्यार्थियों में से $\frac{2}{5}$ विद्यार्थी कार से आते हैं जबकि $\frac{1}{4}$ विद्यार्थी बस से विद्यालय आते हैं। बाकी सभी विद्यार्थी पैदल विद्यालय जाते हैं... यदि 224 विद्यार्थी अकेले पैदल विद्यालय आते हैं, तो बताइए कि उस विद्यालय में कितने विद्यार्थी:
(a) पढ़ते हैं?
(b) कार से आते हैं?
(c) बस से आते हैं?
(d) माता-पिता के साथ आते हैं?
(a) पढ़ते हैं?
(b) कार से आते हैं?
(c) बस से आते हैं?
(d) माता-पिता के साथ आते हैं?
हल (Solution):
कार + बस $= \frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8+5}{20} = \frac{13}{20}$
पैदल चलने वाले $= 1 - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$
अकेले पैदल $= \frac{1}{3} \times (\text{पैदल})$
$\frac{1}{3} \times (\frac{7}{20} \times \text{कुल छात्र}) = 224$
कुल छात्र ($T$) $= \frac{224 \times 3 \times 20}{7} = 1920$
पैदल चलने वाले $= 1 - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$
अकेले पैदल $= \frac{1}{3} \times (\text{पैदल})$
$\frac{1}{3} \times (\frac{7}{20} \times \text{कुल छात्र}) = 224$
कुल छात्र ($T$) $= \frac{224 \times 3 \times 20}{7} = 1920$
उत्तर: (a) 1920, (b) 768, (c) 480, (d) 448
--- अथवा (OR) ---
12. (ii) एक माँ और उसकी दो बेटियों ने ₹62,000 की लागत से एक कमरा बनवाया। बड़ी बेटी ने माँ के भाग का $\frac{3}{8}$ और छोटी बेटी ने माँ के भाग का $\frac{1}{2}$ दिया। प्रत्येक का योगदान ज्ञात करें।
हल (Solution):
माना माँ का हिस्सा $= x$
$x + \frac{3}{8}x + \frac{1}{2}x = 62000$
$\frac{8x + 3x + 4x}{8} = 62000 \Rightarrow \frac{15x}{8} = 62000$
$x = 33066.67$
$x + \frac{3}{8}x + \frac{1}{2}x = 62000$
$\frac{8x + 3x + 4x}{8} = 62000 \Rightarrow \frac{15x}{8} = 62000$
$x = 33066.67$
उत्तर:
(a) माँ: ₹33,066.67
(b) बड़ी बेटी: ₹12,400
(c) छोटी बेटी: ₹16,533.33
(a) माँ: ₹33,066.67
(b) बड़ी बेटी: ₹12,400
(c) छोटी बेटी: ₹16,533.33
13. संलग्न ग्राफ का अध्ययन कीजिए और नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(a) ग्राफ क्या जानकारी देता है?
(b) किस दिन तापमान सबसे कम था?
(c) किस दिन तापमान $31^{\circ}C$ था?
(d) किस दिन तापमान $28^{\circ}C$ था?
(e) सबसे गर्म दिन कौन सा था?
(a) ग्राफ क्या जानकारी देता है?
(b) किस दिन तापमान सबसे कम था?
(c) किस दिन तापमान $31^{\circ}C$ था?
(d) किस दिन तापमान $28^{\circ}C$ था?
(e) सबसे गर्म दिन कौन सा था?
हल (Solution):
उत्तर:
(a) सप्ताह के दिनों का अधिकतम तापमान।
(b) रविवार ($25^{\circ}C$)
(c) बुधवार
(d) सोमवार
(e) शुक्रवार ($32^{\circ}C$)
(a) सप्ताह के दिनों का अधिकतम तापमान।
(b) रविवार ($25^{\circ}C$)
(c) बुधवार
(d) सोमवार
(e) शुक्रवार ($32^{\circ}C$)
खण्ड-ङ (Section E)
14. (i) प्रश्न: एक गणित गतिविधि में, विद्यार्थी परिमेय संख्याओं के गुणों का अन्वेषण कर रहे हैं...
$1. a\times(b-c)=a\times b-a\times c$
$2. a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$
(i) गुण 1 का नाम? (ii) गुण 2 का नाम? (iii) (a) गुण 1 का सत्यापन ($a=1/3, b=1/4, c=1/5$)
$1. a\times(b-c)=a\times b-a\times c$
$2. a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$
(i) गुण 1 का नाम? (ii) गुण 2 का नाम? (iii) (a) गुण 1 का सत्यापन ($a=1/3, b=1/4, c=1/5$)
हल (Solution):
(i) वितरण नियम (Distributive Property)
(ii) सहचर्य नियम (Associative Property)
(iii) (a) LHS $= \frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{20}) = \frac{1}{60}$
RHS $= (\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}) - (\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{1}{60}$
(LHS = RHS सत्यापित)
(ii) सहचर्य नियम (Associative Property)
(iii) (a) LHS $= \frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{20}) = \frac{1}{60}$
RHS $= (\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}) - (\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{1}{60}$
(LHS = RHS सत्यापित)
--- अथवा (OR) ---
14. (iii) (b) गुण 2 का सत्यापन कीजिए जब $a=\frac{1}{2}$ $b=-\frac{1}{3}$ $c=\frac{1}{4}$ हो।
हल (Solution):
LHS $= \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \times -\frac{1}{12} = -\frac{1}{24}$
RHS $= (\frac{1}{2} \times -\frac{1}{3}) \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{24}$
RHS $= (\frac{1}{2} \times -\frac{1}{3}) \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{24}$
15. (समांतर चतुर्भुज आकृति FIST के आधार पर):
(i) $\angle TOS$ का माप? (ii) $\angle IOS$ का माप? (iii) $\angle OSI$ का माप?
(i) $\angle TOS$ का माप? (ii) $\angle IOS$ का माप? (iii) $\angle OSI$ का माप?
हल (Solution):
(i) $\angle TOS = 110^{\circ}$ (शीर्षाभिमुख कोण)
(ii) $\angle IOS = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ (रैखिक युग्म)
(iii) $\Delta IOS$ में, $70^{\circ} + 25^{\circ} + \angle OSI = 180^{\circ} \Rightarrow \angle OSI = 85^{\circ}$
(ii) $\angle IOS = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ (रैखिक युग्म)
(iii) $\Delta IOS$ में, $70^{\circ} + 25^{\circ} + \angle OSI = 180^{\circ} \Rightarrow \angle OSI = 85^{\circ}$
उत्तर: (i) $110^{\circ}$, (ii) $70^{\circ}$, (iii) $85^{\circ}$
16. एक आयत का क्षेत्रफल $=(x^{2}+12xy+27y^{2})$ cm² और उसकी लंबाई $=(x+9y)$ cm है।
(i) लंबाई ज्ञात करें ($x=1, y=1$) (ii) क्षेत्रफल ज्ञात करें ($x=1, y=1$) (iii) चौड़ाई ज्ञात करें ($x=1, y=1$)
(i) लंबाई ज्ञात करें ($x=1, y=1$) (ii) क्षेत्रफल ज्ञात करें ($x=1, y=1$) (iii) चौड़ाई ज्ञात करें ($x=1, y=1$)
हल (Solution):
(i) लंबाई $= 1 + 9(1) = 10$ cm
(ii) क्षेत्रफल $= (1)^2 + 12(1)(1) + 27(1)^2 = 1+12+27 = 40$ cm²
(iii) चौड़ाई निकालने के लिए गुणनखंड करें: $x^2 + 9xy + 3xy + 27y^2 = (x+9y)(x+3y)$
अतः चौड़ाई $= x+3y$
$x=1, y=1$ पर चौड़ाई $= 1 + 3(1) = 4$ cm
(ii) क्षेत्रफल $= (1)^2 + 12(1)(1) + 27(1)^2 = 1+12+27 = 40$ cm²
(iii) चौड़ाई निकालने के लिए गुणनखंड करें: $x^2 + 9xy + 3xy + 27y^2 = (x+9y)(x+3y)$
अतः चौड़ाई $= x+3y$
$x=1, y=1$ पर चौड़ाई $= 1 + 3(1) = 4$ cm
उत्तर: (i) 10 cm, (ii) 40 cm², (iii) 4 cm