भाग 1: खंड-क (बहु-विकल्पीय प्रश्न)
प्रश्न 1 में बहु-विकल्पीय प्रकार के प्रश्न (i-xii) हैं, जिनमें प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है। दिए गए विकल्पों में से उपयुक्त विकल्प चुनिए:
(i) यदि 3408 ÷ 16 = 213 तो 3408.8 ÷ 0.16 बराबर है :
(a) 2130
(b) 213
(c) 21.3
(d) 2.13
उत्तर: (a) 2130
व्याख्या:
3408.8 ÷ 0.16 = (3408.8 * 100) / (0.16 * 100) = 340880 / 16
चूंकि 3408 ÷ 16 = 213, तो 340880 ÷ 16 = 213 * 100 = 2130
(ii) ‘t’ का वह मान है जिसके लिए व्यंजक 3t – 5 और 2t + 1 बराबर हो जाते हैं, है:
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
उत्तर: (c) 6
व्याख्या:
3t – 5 = 2t + 1
3t – 2t = 1 + 5
t = 6
(iii) निम्नलिखित में से किस चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत हैं?
(a) समांतर चतुर्भुज
(b) पतंग
(c) आयत
(d) समलंब
उत्तर: (b) पतंग
व्याख्या: पतंग के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
(iv) यदि किसी संख्या का 40%, 200 है तो उसी संख्या का 50% होगा:
(a) 500
(b) 350
(c) 300
(d) 250
उत्तर: (d) 250
व्याख्या:
माना संख्या x है।
x का 40% = 200
(40/100) * x = 200
x = (200 * 100) / 40 = 5 * 100 = 500
अब, संख्या का 50% = (50/100) * 500 = 250
(v) निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या पूर्ण घन नहीं है?
(a) 216
(b) 625
(c) 729
(d) 1000
उत्तर: (b) 625
व्याख्या:
216 = 6 * 6 * 6 = 6³ (पूर्ण घन)
625 = 25 * 25 (पूर्ण वर्ग, लेकिन पूर्ण घन नहीं)
729 = 9 * 9 * 9 = 9³ (पूर्ण घन)
1000 = 10 * 10 * 10 = 10³ (पूर्ण घन)
(vi) दी गई आकृति में, दर्शाए गए छायांकित भाग का समतुल्य भिन्न है:
(आकृति में 6 में से 4 भाग छायांकित हैं)
(a) 5/6
(b) 3/6
(c) 2/3
(d) 3/4
उत्तर: (c) 2/3
व्याख्या:
छायांकित भाग = 4/6
सरल करने पर = 2/3
(vii) यदि 4x + 1 = 9 है, तो (2x – 1) का मान है:
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
उत्तर: (b) 3
व्याख्या:
4x + 1 = 9
4x = 9 – 1
4x = 8
x = 8 / 4 = 2
अब, 2x – 1 = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
(viii) एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या जिसका प्रत्येक अंतः कोण 165° है, है:
(a) 12
(b) 16
(c) 20
(d) 24
उत्तर: (d) 24
व्याख्या:
प्रत्येक अंतः कोण = 165°
प्रत्येक बाह्य कोण = 180° – 165° = 15°
बहुभुज की भुजाओं की संख्या = 360° / (प्रत्येक बाह्य कोण) = 360° / 15° = 24
(ix) एक संख्या रेखा (-4) निम्न में से किसके दाई ओर स्थित है?
(a) -8
(b) -3
(c) 0
(d) 5
उत्तर: (a) -8
व्याख्या: संख्या रेखा पर, एक संख्या अपने से छोटी संख्या के दाईं ओर स्थित होती है। -4, -8 से बड़ा है, इसलिए यह -8 के दाईं ओर है।
(x) √64 + √25 + √1 का मान है ?
(a) 1
(b) 4
(c) 5
(d) 10
उत्तर: (d) 10
व्याख्या:
√64 = 8
√25 = 5
√1 = 1
योग = 8 + 5 + 1 = 14
(यहाँ प्रश्न में कुछ त्रुटि प्रतीत होती है, दिए गए विकल्पों में से 14 नहीं है। यदि प्रश्न √64 + √25 – √1 होता तो 8 + 5 – 1 = 12 होता। दिए गए विकल्पों के अनुसार कोई सटीक उत्तर नहीं है। यदि यह √64 + √25 – √1 है, तो उत्तर 12 होगा। यदि यह √64 + √25 + √1 ही है तो उत्तर 14 होगा।)
(xi) निम्नलिखित में से किस रैखिक समीकरण का हल y = 2 है?
(a) 3 – 2y = y + 2
(b) y + 6 = 4y – 2
(c) 2y – 4 = 2 – y
(d) y – 6 = 2y – y
उत्तर: (b) y + 6 = 4y – 2
व्याख्या: प्रत्येक विकल्प में y = 2 रखने पर:
(a) 3 – 2(2) = 2 + 2 => 3 – 4 = 4 => -1 = 4 (असत्य)
(b) 2 + 6 = 4(2) – 2 => 8 = 8 – 2 => 8 = 6 (असत्य)
(c) 2(2) – 4 = 2 – 2 => 4 – 4 = 0 => 0 = 0 (सत्य)
(d) 2 – 6 = 2(2) – 2 => -4 = 4 – 2 => -4 = 2 (असत्य)
पुनः जाँच करें:
(a) 3 – 2y = y + 2 => 3 – 2(2) = 2 + 2 => 3 – 4 = 4 => -1 = 4 (गलत)
(b) y + 6 = 4y – 2 => 2 + 6 = 4(2) – 2 => 8 = 8 – 2 => 8 = 6 (गलत)
(c) 2y – 4 = 2 – y => 2(2) – 4 = 2 – 2 => 4 – 4 = 0 => 0 = 0 (सही)
(d) y – 6 = 2y – y => 2 – 6 = 2(2) – 2 => -4 = 4 – 2 => -4 = 2 (गलत)
दिए गए विकल्पों और हल में विसंगति है। विकल्प (c) में y=2 सही हल है।
(xii) वह न्यूनतम संख्या जिससे 72 को गुणा करने पर यह एक पूर्ण घन बन जाए, है:
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 6
उत्तर: (b) 3
व्याख्या:
72 के अभाज्य गुणनखंड: 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 2³ * 3²
पूर्ण घन बनाने के लिए, प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की घात 3 का गुणज होनी चाहिए।
यहाँ 3 की घात 2 है, इसे 3 बनाने के लिए 3 से गुणा करना होगा (3² * 3 = 3³)।
इसलिए, न्यूनतम संख्या 3 है।
भाग 2: खण्ड-ख (वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न)
प्रश्न 2 से 7 वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न हैं, जिनमें प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है।
2. दिए गए गुण को बताते हुए, निम्नलिखित को पूरा कीजिए:
(i) OD = OB (समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)
(ii) ∠DAB + ∠CDA = 180° (आसन्न कोणों का योग 180° होता है)
3. एक आदमी के पास रु. 105000 थे। उसने इस राशि का 30% अपने बेटे को 25% बेटी को, 35% पत्नी को दिया और शेष राशि उस विद्यालय को दान की जहाँ उसने पढ़ाई की थी। विद्यालय को दान की गई राशि की गणना कीजिए।
उत्तर:
कुल राशि = रु. 105000
बेटे को दिया = 30%
बेटी को दिया = 25%
पत्नी को दिया = 35%
कुल दिया गया प्रतिशत = 30% + 25% + 35% = 90%
विद्यालय को दिया गया प्रतिशत = 100% – 90% = 10%
विद्यालय को दान की गई राशि = 10% का रु. 105000
= (10/100) * 105000 = रु. 10500
4. ‘y’ के लिए हल कीजिए:
(2y/3) + 1 = (7y/15) + 3
उत्तर:
(2y/3) – (7y/15) = 3 – 1
(10y – 7y) / 15 = 2
3y / 15 = 2
y / 5 = 2
y = 10
5. निम्नलिखित को सरल कीजिए तथा घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(5/3)⁵ × (5/3)⁸ ÷ (5/3)² × (5/3)⁴
उत्तर:
घातों के नियमों का उपयोग करके: a^m × a^n = a^(m+n) और a^m ÷ a^n = a^(m-n)
= (5/3)^(5+8) ÷ (5/3)^(2+4)
= (5/3)¹³ ÷ (5/3)⁶
= (5/3)^(13-6)
= (5/3)⁷
6. दी गई आकृति में, PQRS एक चतुर्भुज है। इस चतुर्भुज की कौन-सी दो भुजाएँ समानांतर हैं। अपने उत्तर के लिए तर्क दीजिए।
(आकृति में ∠P = 89°, ∠Q = 91°, ∠R = 92°, ∠S = 88°)
उत्तर:
चतुर्भुज PQRS में,
∠P + ∠S = 89° + 88° = 177° (सह-आंतरिक कोण नहीं)
∠Q + ∠R = 91° + 92° = 183° (सह-आंतरिक कोण नहीं)
अब, भुजा PQ और SR के लिए, तिर्यक रेखा PS और QR हैं।
यदि PS || QR होता, तो ∠P + ∠Q = 180° होता (जो 89° + 91° = 180° है)।
और ∠S + ∠R = 180° होता (जो 88° + 92° = 180° है)।
चूंकि ∠P + ∠Q = 89° + 91° = 180° और ∠S + ∠R = 88° + 92° = 180° है,
तो PS || QR।
अतः, भुजाएँ PS और QR समानांतर हैं क्योंकि तिर्यक रेखाओं PQ और SR के एक ही ओर के आंतरिक कोणों का योग 180° है।
7. निम्नलिखित प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए:
1 = 1 = 1³
3 + 5 = 8 = 2³
7 + 9 + 11 = 27 = 3³
13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4³
उपर्युक्त प्रतिरूप का उपयोग करके 6³ को विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर:
प्रतिरूप में, n³ को n विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया गया है।
1³ = 1 (पहली 1 विषम संख्या)
2³ = 3 + 5 (अगली 2 विषम संख्याएँ)
3³ = 7 + 9 + 11 (अगली 3 विषम संख्याएँ)
4³ = 13 + 15 + 17 + 19 (अगली 4 विषम संख्याएँ)
5³ = 21 + 23 + 25 + 27 + 29 (अगली 5 विषम संख्याएँ)
तो, 6³ को अगली 6 विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जाएगा:
6³ = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41
भाग 3: खण्ड-ग (लघु उत्तर प्रकार के प्रश्न)
प्रश्न 8 से 10 लघु उत्तर प्रकार के प्रश्न हैं, जिनमें प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है।
8. एक पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका सबसे छोटा सदस्य 12 है।
उत्तर:
पाइथागोरस त्रिक (2m, m² – 1, m² + 1) के रूप में होते हैं।
यदि सबसे छोटा सदस्य 12 है:
केस 1: 2m = 12 => m = 6
त्रिक:
2m = 12
m² – 1 = 6² – 1 = 36 – 1 = 35
m² + 1 = 6² + 1 = 36 + 1 = 37
त्रिक है: (12, 35, 37)
अथवा
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो पूर्ण वर्ग हो।
उत्तर:
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999
अब हम इसका वर्गमूल ज्ञात करेंगे।
√9999 ≈ 99.99
सबसे बड़ा पूर्णांक जिसका वर्ग 9999 से कम या बराबर है, वह 99 है।
99² = 99 * 99 = 9801
इसलिए, चार अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या 9801 है।
9. क्या 68600 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 68600 को गुणा करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए?
उत्तर:
68600 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं:
68600 = 100 * 686
= (2 * 5 * 2 * 5) * (2 * 7 * 7 * 7)
= 2² * 5² * 2 * 7³
= 2³ * 5² * 7³
पूर्ण घन बनाने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की घात 3 का गुणज होनी चाहिए।
यहाँ 2 की घात 3 है और 7 की घात 3 है।
लेकिन 5 की घात 2 है। इसे 3 बनाने के लिए हमें 5 से एक बार और गुणा करना होगा।
इसलिए, सबसे छोटी प्राकृत संख्या जिससे 68600 को गुणा करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त होगा, वह 5 है।
68600 * 5 = 343000 = 70³
10. क्या एक चतुर्भुज PQRS एक समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि
(i) ∠Q + ∠R = 180° है।
(ii) PQ = RS = 8 सेमी, PS = 4 सेमी और QR = 4.4 सेमी हैं।
(iii) ∠P = 75° और ∠R = 65° है।
अपने उत्तर के लिए तर्क दीजिए।
उत्तर:
(i) ∠Q + ∠R = 180° है।
हाँ, यह एक समांतर चतुर्भुज हो सकता है। यदि तिर्यक रेखा QR, रेखाएँ PQ और SR को प्रतिच्छेद करती है, और ∠Q + ∠R = 180° है, तो इसका अर्थ है कि PQ || SR (सह-आंतरिक कोणों का योग 180° है)। यदि एक चतुर्भुज में एक युग्म भुजाएँ समानांतर और बराबर हों, तो यह एक समांतर चतुर्भुज हो सकता है। (लेकिन केवल इस शर्त पर निश्चित रूप से नहीं कहा जा सकता)। हालांकि, एक समलंब चतुर्भुज में भी सह-आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। यदि PQ || SR है और PS || QR है, तो यह एक समांतर चतुर्भुज होगा।
(ii) PQ = RS = 8 सेमी, PS = 4 सेमी और QR = 4.4 सेमी हैं।
नहीं, यह एक समांतर चतुर्भुज नहीं हो सकता। एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर होने चाहिए (PQ = RS और PS = QR)। यहाँ PQ = RS = 8 सेमी है, लेकिन PS = 4 सेमी और QR = 4.4 सेमी हैं, जो बराबर नहीं हैं।
(iii) ∠P = 75° और ∠R = 65° है।
नहीं, यह एक समांतर चतुर्भुज नहीं हो सकता। एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर होते हैं (∠P = ∠R और ∠Q = ∠S)। यहाँ ∠P = 75° और ∠R = 65° हैं, जो बराबर नहीं हैं।
भाग 4: खण्ड-घ (दीर्घ उत्तर प्रकार के प्रश्न)
प्रश्न 11 से 13 दीर्घ उत्तर प्रकार के प्रश्न हैं, जिनमें प्रत्येक प्रश्न 5 अंक का है।
11. निम्नलिखित रैखिक समीकरण को सरल कर हल कीजिए:
15(y – 4) – 2(y – 9) + 5(y + 6) = 0
उत्तर:
15(y – 4) – 2(y – 9) + 5(y + 6) = 0
15y – 60 – 2y + 18 + 5y + 30 = 0
(15y – 2y + 5y) + (-60 + 18 + 30) = 0
18y + (-12) = 0
18y – 12 = 0
18y = 12
y = 12 / 18
y = 2 / 3
अथवा
निम्नलिखित रैखिक समीकरण को सरल कर हल कीजिए:
(x/2) – (1/4)(x – 1) = (1/6)(x + 1) + (1/12)
अपना उत्तर भी सत्यापित कीजिए।
उत्तर:
(x/2) – (x – 1)/4 = (x + 1)/6 + 1/12
सभी पदों को समान हर पर लाने के लिए 2, 4, 6, 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 लेते हैं।
प्रत्येक पद को 12 से गुणा करते हैं:
12 * (x/2) – 12 * (x – 1)/4 = 12 * (x + 1)/6 + 12 * (1/12)
6x – 3(x – 1) = 2(x + 1) + 1
6x – 3x + 3 = 2x + 2 + 1
3x + 3 = 2x + 3
3x – 2x = 3 – 3
x = 0
सत्यापन:
समीकरण के बाईं ओर (LHS) में x = 0 रखने पर:
LHS = (0/2) – (1/4)(0 – 1) = 0 – (1/4)(-1) = 1/4
समीकरण के दाहिनी ओर (RHS) में x = 0 रखने पर:
RHS = (1/6)(0 + 1) + (1/12) = (1/6)(1) + (1/12) = 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4
चूँकि LHS = RHS, इसलिए हल x = 0 सही है।
12. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक 12, 15 और 18 से विभाजित हो जाए।
उत्तर:
सबसे पहले, 12, 15 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए।
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
15 = 3 × 5 = 3¹ × 5¹
18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3²
LCM (12, 15, 18) = 2² × 3² × 5¹ = 4 × 9 × 5 = 180
अब, LCM 180 एक पूर्ण वर्ग नहीं है क्योंकि 5 की घात 1 है।
एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की घात सम होनी चाहिए।
यहाँ 5 की घात 1 है, इसलिए हमें इसे 5 से गुणा करना होगा ताकि 5 की घात 2 हो जाए।
सबसे छोटी वर्ग संख्या = LCM × 5 = 180 × 5 = 900
900 = 2² × 3² × 5² = (2 × 3 × 5)² = 30²
13. वर्ग तथा समचतुर्भुज के दो उभयनिष्ठ गुण लिखिए।
उत्तर:
वर्ग और समचतुर्भुज के दो उभयनिष्ठ गुण निम्नलिखित हैं:
सभी भुजाएँ बराबर होती हैं: एक वर्ग की सभी चार भुजाएँ बराबर होती हैं, और एक समचतुर्भुज की भी सभी चार भुजाएँ बराबर होती हैं।
विकर्ण एक दूसरे के लंबवत समद्विभाजित करते हैं: वर्ग और समचतुर्भुज दोनों में, विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं: दोनों में सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं। (यह एक समांतर चतुर्भुज की परिभाषा है, और वर्ग तथा समचतुर्भुज दोनों समांतर चतुर्भुज होते हैं)।
अथवा
दी गई आकृति में, RING एक समचतुर्भुज है। यदि NO = 8 सेमी, IO = 15 सेमी है, तो ‘x’, ‘y’ और ‘z’ ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए।
(आकृति में O विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। R, I, N, G क्रम में शीर्ष हैं। NO = y, OR = x, OI = z, OG = 8, O में कोण 90°।)
उत्तर:
एक समचतुर्भुज के गुण:
सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
दिए गए चित्र में,
NO = 8 सेमी और IO = 15 सेमी।
विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं:
OR = OG = x
OI = ON = z
चूंकि NO = y और OG = 8 दिया गया है, और समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो
y = NO और ON बराबर होंगे (यदि N और G सम्मुख शीर्ष हैं)।
और IO = OG (यदि I और G सम्मुख शीर्ष हैं)।चित्र के अनुसार, NO = y और OG = 8 हैं।
यदि NO = 8 सेमी, तो ON = 8 सेमी।
और IO = 15 सेमी, तो OI = 15 सेमी।समचतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए, ON = OG और OI = OR
तो, y = 8 सेमी (क्योंकि NO = OG = 8, चित्र में G पर 8 दिया गया है, और O केंद्र है)।
और x = 15 सेमी (क्योंकि OI = OR = 15, चित्र में I पर 15 दिया गया है)।विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं:
∠NOG = 90° (O पर बने कोण)
त्रिभुज NOG एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: NG² = NO² + OG²
NG = √(8² + 8²) = √(64 + 64) = √128 = 8√2
(लेकिन ‘z’ विकर्णों के एक भाग को दर्शाता है, संभवतः NI या IG को)यदि ‘z’ से चित्र में OI को दर्शाया गया है, तो z = 15 सेमी।
यदि ‘z’ से चित्र में NO को दर्शाया गया है, तो z = 8 सेमी।
यदि ‘z’ से चित्र में RI को दर्शाया गया है (विकर्ण), तो z = 2 * OR = 2 * 15 = 30 सेमी।
यदि ‘z’ से चित्र में NG को दर्शाया गया है (विकर्ण), तो z = 2 * NO = 2 * 8 = 16 सेमी।दिए गए डेटा में NO = 8 सेमी और IO = 15 सेमी है।
और चित्र में OG = 8 और OR = x, OI = z, ON = y है।
विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं:
OR = OI => x = z
OG = ON => 8 = y
इसलिए, y = 8 सेमी।
और x = z = 15 सेमी (क्योंकि IO = 15 सेमी दिया गया है)।
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB||CD, ∠A : ∠D = 2 : 1 और ∠B : ∠C = 7 : 5 है। समलंब के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
समलंब ABCD में, AB || CD है।
इसका मतलब है कि तिर्यक रेखा AD और BC के एक ही ओर के आंतरिक कोणों का योग 180° होगा।
∠A + ∠D = 180°
∠B + ∠C = 180°
दिया गया है ∠A : ∠D = 2 : 1
माना ∠A = 2k और ∠D = k
2k + k = 180°
3k = 180°
k = 60°
तो, ∠A = 2 * 60° = 120°
और ∠D = 1 * 60° = 60°
दिया गया है ∠B : ∠C = 7 : 5
माना ∠B = 7m और ∠C = 5m
7m + 5m = 180°
12m = 180°
m = 180° / 12 = 15°
तो, ∠B = 7 * 15° = 105°
और ∠C = 5 * 15° = 75°
समलंब के सभी कोण हैं: ∠A = 120°, ∠B = 105°, ∠C = 75°, ∠D = 60°
भाग 5: खण्ड-ङ (स्रोत आधारित / प्रकरण अध्ययन आधारित प्रश्न)
प्रश्न 14 से 16 स्रोत आधारित / प्रकरण अध्ययन आधारित प्रश्न हैं, जिनमें प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है।
14. नितिन और शशि एक सरकारी स्कूल में शिक्षक हैं। उन्हें कक्षा VIII और IX के विद्यार्थियों को विद्यालय के वार्षिक समारोह में होने वाली पी.टी. ड्रिल के लिए प्रशिक्षित करने की जिम्मेदारी दी गई है। पी.टी. ड्रिल में विद्यार्थियों को इस प्रकार खड़ा होना है कि पंक्तियों की संख्या स्तंभ की संख्या के बराबर हो। कक्षा VIII और IX में विद्यार्थियों की संख्या क्रमशः 248 और 250 है।
उपर्युक्त जानकारी के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) यदि केवल कक्षा VII के विद्यार्थियों को ड्रिल में भाग लेना है, तो ड्रिल में भाग लेने वाले कक्षा VIII के विद्यार्थियों की अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर: (यह प्रश्न त्रुटिपूर्ण है, कक्षा VII के विद्यार्थियों का उल्लेख नहीं है। यदि यह कक्षा VIII है तो हल नीचे दिया गया है।)
यदि केवल कक्षा VIII के विद्यार्थी ड्रिल में भाग लेते हैं, तो उनकी संख्या 248 है।
पंक्तियों की संख्या = स्तंभों की संख्या, जिसका अर्थ है कि कुल विद्यार्थियों की संख्या एक पूर्ण वर्ग होनी चाहिए।
हम 248 से कम या बराबर सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करते हैं।
√248 ≈ 15.7
15² = 225
16² = 256
तो, ड्रिल में भाग लेने वाले कक्षा VIII के विद्यार्थियों की अधिकतम संख्या 225 होगी।
(ii) यदि केवल कक्षा IX के विद्यार्थी ड्रिल में भाग लें, तो कक्षा IX के उन छात्रों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जो ड्रिल में भाग नहीं ले सकते?
उत्तर:
कक्षा IX के विद्यार्थियों की संख्या = 250
हम 250 से कम या बराबर सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करते हैं।
√250 ≈ 15.8
15² = 225
16² = 256
ड्रिल में भाग लेने वाले छात्रों की अधिकतम संख्या = 225
ड्रिल में भाग नहीं ले सकने वाले छात्रों की न्यूनतम संख्या = 250 – 225 = 25
(iii) कक्षा IX से लिए जाने वाले विद्यार्थियों की वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए, ताकि कक्षा VIII के सभी विद्यार्थी ड्रिल में भाग ले सकें।
उत्तर:
कक्षा VIII के सभी विद्यार्थी = 248
कक्षा IX के विद्यार्थी = 250
दोनों कक्षाओं को मिलाकर कुल संख्या एक पूर्ण वर्ग होनी चाहिए।
कुल विद्यार्थी = 248 + (कक्षा IX से कुछ विद्यार्थी)
हमें 248 से बड़ी अगली पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करनी है।
√248 ≈ 15.7
अगली पूर्ण वर्ग संख्या 16² = 256
तो, कुल विद्यार्थियों की संख्या 256 होनी चाहिए।
कक्षा VIII के विद्यार्थी = 248
आवश्यक अतिरिक्त विद्यार्थी = 256 – 248 = 8
अतः, कक्षा IX से लिए जाने वाले विद्यार्थियों की न्यूनतम संख्या 8 होगी।
अथवा
यदि दोनों कक्षाओं से अधिकतम संख्या में विद्यार्थी ड्रिल में भाग लेते हैं, तो प्रत्येक पंक्ति/स्तंभ में विद्यार्थियों की संख्या क्या होगी?
उत्तर:
कक्षा VIII के विद्यार्थी = 248
कक्षा IX के विद्यार्थी = 250
दोनों कक्षाओं से अधिकतम संख्या में विद्यार्थी ड्रिल में भाग लेने का अर्थ है कि हम (248 + 250) = 498 या उससे कम सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या लेंगे।
हमें 248 और 250 दोनों के लिए सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्याएँ लेनी होंगी।
VIII से अधिकतम = 225 (15²)
IX से अधिकतम = 225 (15²)
कुल विद्यार्थी = 225 + 225 = 450
यदि सभी 498 विद्यार्थी एक साथ ड्रिल करते हैं, तो 498 के लिए पूर्ण वर्ग नहीं बन सकता।
√498 ≈ 22.3
22² = 484
23² = 529
अधिकतम संख्या जो भाग ले सकती है = 484
प्रत्येक पंक्ति/स्तंभ में विद्यार्थियों की संख्या 22 होगी।
(यहाँ प्रश्न थोड़ा अस्पष्ट है, क्या दोनों कक्षाओं को मिलाकर ड्रिल करनी है या अलग-अलग?)
यदि प्रश्न का अर्थ है कि दोनों कक्षाओं के विद्यार्थियों को एक साथ मिला दिया जाता है, और फिर उनमें से अधिकतम को लेकर ड्रिल की जाती है:
कक्षा VIII और IX के कुल विद्यार्थी = 248 + 250 = 498
हम 498 से कम या बराबर सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करते हैं।
√498 ≈ 22.31
सबसे बड़ा पूर्णांक जिसका वर्ग 498 से कम या बराबर है, वह 22 है।
22² = 484
तो, अधिकतम 484 विद्यार्थी ड्रिल में भाग ले सकते हैं।
प्रत्येक पंक्ति/स्तंभ में विद्यार्थियों की संख्या = √484 = 22
15. अनन्या कक्षा VII की छात्रा है। उसकी माँ शिखा रोजाना योगाभ्यास करती हैं। अनन्या अपनी माँ को योगाभ्यास करते हुए देखा करती थी। एक सुबह शिखा ने अपनी योगा मैट बिछाई और स्ट्रेचिंग और झुकने के साथ अपना वार्मअप सत्र शुरू किया। अनन्या ने अपनी मां को देखा और जब वह योग मुद्रा में थीं, उनकी तस्वीर ली। अनन्या ने निम्न आकृति में दर्शाए तस्वीर को अनुसार नामांकित किया।
(i) कोण ∠PQM और ∠MQR के युग्म का क्या नाम है?
उत्तर:
आकृति के अनुसार, ∠PQM और ∠MQR एक ही सीधी रेखा PR पर बनते हैं और उनका शीर्ष Q उभयनिष्ठ है। वे एक दूसरे के आसन्न हैं।
इसलिए, ये रैखिक युग्म कोण (Linear Pair of Angles) हैं।
(ii) ∠MQR के माप की गणना ‘x’ के पदों में कीजिए।
उत्तर:
चित्र में ∠PQM = (2x – 15)° और ∠MQR = 50° दिखाया गया है।
यह एक रैखिक युग्म प्रतीत नहीं होता है, बल्कि MQR 50 डिग्री के रूप में चिह्नित है और PQM 2x-15 के रूप में चिह्नित है।
यदि वे आसन्न कोण हैं और रेखा PQR एक सीधी रेखा है, तो:
∠PQM + ∠MQR = 180°
(2x – 15)° + 50° = 180°
2x + 35° = 180°
2x = 180° – 35°
2x = 145°
x = 72.5°
लेकिन प्रश्न कहता है कि ∠MQR के माप की गणना ‘x’ के पदों में कीजिए।
यदि चित्र में सीधे ∠MQR = 50° दिखाया गया है, तो यह ‘x’ के पदों में नहीं है।
अगर प्रश्न का मतलब है कि ∠MQR