Class 9 Geometry – Circle & Quadrilateral (Exam Format)
🔵 A. CIRCLE (वृत्त)
प्रमेय 1: केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में बाँट देता है।
दिया है: O केंद्र है, AB एक जीवा है, OD ⟂ AB और D पर काटता है।
सिद्ध करना है: AD = DB
रचना: OA और OB जोड़ो।
प्रमाण:
ΔODA और ΔODB में:
1) OA = OB (त्रिज्याएँ)
2) ∠ODA = ∠ODB = 90°
3) OD = OD (सामान्य)
⇒ RHS से ΔODA ≅ ΔODB
⇒ AD = DB
निष्कर्ष: केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है।
प्रमेय 2 (उल्टा): जो रेखा जीवा को दो बराबर भागों में बाँटे, वह केंद्र से होकर जाती है।
दिया है: AB जीवा है, D उसका मध्य बिंदु है (AD = DB), O केंद्र है।
सिद्ध करना है: OD ⟂ AB
रचना: OA और OB जोड़ो।
प्रमाण:
ΔODA और ΔODB में:
1) AD = DB (दिया है)
2) OA = OB (त्रिज्याएँ)
3) OD = OD (सामान्य)
⇒ SSS से ΔODA ≅ ΔODB
⇒ ∠ODA = ∠ODB = 90° ⇒ OD ⟂ AB
निष्कर्ष: जो रेखा जीवा को दो बराबर भागों में बाँटती है, वह केंद्र से होकर जाती है।
प्रमेय 3: समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
दिया है: AB = CD, O केंद्र, OM ⟂ AB और ON ⟂ CD
सिद्ध करना है: OM = ON
रचना: OA, OB, OC, OD जोड़ो।
प्रमाण:
M और N मध्य बिंदु होंगे।
ΔOMA और ΔONC में:
1) OA = OC (त्रिज्याएँ)
2) ∠OMA = ∠ONC = 90°
3) AM = CN (क्योंकि AB = CD)
⇒ RHS से ΔOMA ≅ ΔONC
⇒ OM = ON
निष्कर्ष: समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
प्रमेय 4 (उल्टा): जो जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हों, वे बराबर होती हैं।
दिया है: OM ⟂ AB, ON ⟂ CD और OM = ON
सिद्ध करना है: AB = CD
रचना: OA, OB, OC, OD जोड़ो।
प्रमाण:
ΔOMA और ΔONC में:
1) OA = OC (त्रिज्याएँ)
2) ∠OMA = ∠ONC = 90°
3) OM = ON (दिया है)
⇒ RHS से ΔOMA ≅ ΔONC
⇒ AM = CN ⇒ AB = CD
निष्कर्ष: जो जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हों, वे बराबर होती हैं।
🔷 B. QUADRILATERAL / PARALLELOGRAM
प्रमेय 1: समांतर चतुर्भुज की सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं।
दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है: AB = CD और BC = AD
रचना: विकर्ण AC खींचो।
प्रमाण:
ΔABC और ΔCDA में:
1) ∠BAC = ∠DCA (Alternate, AB ∥ CD)
2) ∠BCA = ∠DAC (Alternate, BC ∥ AD)
3) AC = AC (सामान्य)
⇒ ASA से ΔABC ≅ ΔCDA
⇒ AB = CD और BC = AD
निष्कर्ष: समांतर चतुर्भुज की सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं।
प्रमेय 2: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
दिया है: ABCD समांतर चतुर्भुज है, AC और BD O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है: AO = OC और BO = OD
रचना: कोई अतिरिक्त रचना नहीं।
प्रमाण:
ΔAOB और ΔCOD में:
1) ∠AOB = ∠COD (शीर्ष-विपरीत कोण)
2) AB = CD (सामने की भुजाएँ बराबर)
3) ∠ABO = ∠CDO (Alternate, AB ∥ CD)
⇒ ASA से ΔAOB ≅ ΔCOD
⇒ AO = OC और BO = OD
निष्कर्ष: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
🔵 वृत्त (Circles)
प्रमेय 10.1: बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
दिया है: एक वृत्त का केंद्र O है। AB और CD दो बराबर जीवाएँ हैं।
सिद्ध करना है: ∠AOB = ∠COD
रचना: OA, OB, OC और OD जोड़ो।
प्रमाण:
त्रिभुज AOB और त्रिभुज COD में:
1) OA = OC (त्रिज्याएँ)
2) OB = OD (त्रिज्याएँ)
3) AB = CD (दिया है)
⇒ SSS सर्वांगसमता नियम से ΔAOB ≅ ΔCOD
⇒ ∠AOB = ∠COD (संगत कोण बराबर)
निष्कर्ष: वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
प्रमेय 10.4: केंद्र से जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई रेखा जीवा पर लंब होती है।
दिया है: O वृत्त का केंद्र है। AB एक जीवा है। D, AB का मध्य बिंदु है (AD = DB)।
सिद्ध करना है: OD ⟂ AB
रचना: O को A और B से जोड़ो (OA और OB जोड़ो)।
प्रमाण:
त्रिभुज ODA और त्रिभुज ODB में:
1) AD = DB (दिया है)
2) OA = OB (त्रिज्याएँ)
3) OD = OD (सामान्य भुजा)
⇒ SSS से ΔODA ≅ ΔODB
⇒ ∠ODA = ∠ODB
और ये दोनों कोण एक सरल रेखा पर हैं, इसलिए प्रत्येक = 90°
⇒ OD ⟂ AB
निष्कर्ष: केंद्र से जीवा को समद्विभाजित करने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।
प्रमेय 10.8: किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।
दिया है: एक वृत्त का केंद्र O है। AB एक चाप है। C वृत्त पर कोई बिंदु है।
सिद्ध करना है: ∠AOB = 2 × ∠ACB
रचना: OA, OB और OC जोड़ो।
प्रमाण:
OA = OB = OC (तीनों त्रिज्याएँ)
इससे बने त्रिभुजों में आधार कोण बराबर होंगे।
कोणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है कि:
∠AOB = ∠AOC + ∠COB
और प्रत्येक भाग, ∠ACB के बराबर के योग के रूप में आता है।
इसलिए,
∠AOB = 2 × ∠ACB
निष्कर्ष: केंद्र पर बना कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त पर बने कोण का दुगुना होता है।