कक्षा 8वीं गणित (Mathematics)वार्षिक परीक्षा हल 2024-25

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खंड – क (Section A) – बहुविकल्पीय प्रश्न

1. (i) यदि 2z – 3 = z + 2 है, तो (z – 4) का मान है:

समीकरण को हल करें: 2z – 3 = z + 2
z को एक तरफ ले जाएँ: 2z – z = 2 + 3
z = 5
अब मान ज्ञात करें: (z – 4) = 5 – 4 = 1

उत्तर: (a) 1

1. (ii) दी गई आकृति में, कोण ‘x’ का माप है:

एक बिंदु के चारों ओर कोणों का योग 360° होता है।
x + 36° + 64° + 150° = 360°
x + 250° = 360°
x = 360° – 250° = 110°

उत्तर: (d) 110°

1. (iii) (5° + 6°) × 7° का मान है:

किसी भी संख्या की घात 0 होने पर मान 1 होता है (a⁰ = 1)।
अतः (1 + 1) × 1 = 2 × 1 = 2

उत्तर: (c) 2

1. (iv) एक वर्ग संख्या अंक 4 पर समाप्त होती है। इस संख्या के वर्गमूल में इकाई का अंक है:

यदि किसी संख्या का इकाई अंक 2 या 8 हो, तो उसका वर्ग 4 पर समाप्त होता है।
उदाहरण: 2² = 4, 8² = 64

उत्तर: (d) 2 या 8

1. (v) पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी 384467000 मीटर है। मानक रूप है:

दशमलव को 8 स्थान बाईं ओर ले जाने पर मानक रूप प्राप्त होता है।

उत्तर: (b) 3.84467 × 10⁸ मी

1. (vi) सीमा 35 दिनों में 25 टोकरियाँ बुनती है। 100 टोकरियाँ बुनने में लगने वाले दिन:

यह सीधा अनुपात (Direct Proportion) है।
25/35 = 100/x
x = (100 × 35) / 25 = 4 × 35 = 140 दिन।

उत्तर: (a) 140

1. (vii) 6 सेमी भुजा वाले घनों की संख्या जो 216 घन मीटर घनाभ में आ सकते हैं:

घनाभ का आयतन = 216 m³ = 216 × 10⁶ cm³ (क्योंकि 1m = 100cm)।
एक घन का आयतन = 6³ = 216 cm³।
संख्या = (216 × 10⁶) / 216 = 10⁶।

उत्तर: (a) 10⁶

1. (ix) निम्न आकृति में ‘x’ का मान है (चतुर्भुज के बाह्य कोण):

बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360° होता है।
कोण P पर आंतरिक कोण 89° है, तो बाह्य कोण = 180° – 89° = 91°।
समीकरण: x + 90° + 60° + 91° + 40° = 360°
x + 281° = 360° → x = 79°

उत्तर: (a) 79°

1. (x) यदि ∛4096 = 16 है, तो ∛4.096 + ∛4096 का मान है:

∛4.096 = 1.6
∛4096 = 16
योग = 1.6 + 16 = 17.6

उत्तर: (c) 17.6

1. (xi) (49p² – 36) के गुणनखंड हैं:

सूत्र a² – b² = (a-b)(a+b) का प्रयोग करें।
(7p)² – (6)² = (7p – 6)(7p + 6)

उत्तर: (d) (7p – 6)(7p + 6)

1. (xii) यदि ‘x’ और ‘y’ प्रतिलोम अनुपात में हैं, तो ‘a’ का मान (90, 10) और (45, a):

x × y = k (स्थिरांक)
90 × 10 = 45 × a
900 = 45a → a = 20

उत्तर: (b) 20

खंड – ख (Section B) – वस्तुनिष्ठ प्रश्न (2 अंक)

2. HABD और GCEF समांतर चतुर्भुज हैं। ‘x’ का मान ज्ञात कीजिए।

समांतर चतुर्भुज HABD में: ∠A = 130°, तो ∠ABD = 180° – 130° = 50° (आसन्न कोण)।
समांतर चतुर्भुज GCEF में: ∠F = 30°, तो संगत/एकांतर कोण से मध्य त्रिभुज का दूसरा आधार कोण 30° होगा।
मध्य त्रिभुज में कोण योग गुण से: x + 50° + 30° = 180°
x = 180° – 80° = 100°

उत्तर: x = 100°

3. यदि (-2)³ × (-2)^-6 = (-2)^2m-6 है, तो ‘m’ का मान ज्ञात कीजिए।

आधार समान होने पर गुणा में घातें जुड़ती हैं: 3 + (-6) = 2m – 6
-3 = 2m – 6
2m = 6 – 3 → 2m = 3

उत्तर: m = 1.5 (या 3/2)

4. मीता वेतन से ₹ 4000 बचाती है जो वेतन का 10% है। वेतन कितना है?

माना वेतन = x
x का 10% = 4000 → (10/100) × x = 4000
x = 4000 × 10 = 40,000

उत्तर: ₹ 40,000

5. वरुण ने स्केट्स ₹ 1920 में खरीदे (20% छूट पर)। अंकित मूल्य ज्ञात करें।

माना अंकित मूल्य = MP
MP – 20% of MP = 1920 → 80% of MP = 1920
MP = (1920 × 100) / 80 = 2400

उत्तर: ₹ 2400

6. 2m² – 3mn + 3n² में क्या जोड़ें कि 5m² + 2mn + 7n² प्राप्त हो?

माना A जोड़ना है।
A = (5m² + 2mn + 7n²) – (2m² – 3mn + 3n²)

उत्तर: 3m² + 5mn + 4n²

7. समलंब का क्षेत्रफल 480 m², ऊँचाई 15m, एक भुजा 20m। दूसरी भुजा?

क्षेत्रफल = 1/2 × (भुजा₁ + भुजा₂) × h
480 = 1/2 × (20 + x) × 15
64 = 20 + x → x = 44

उत्तर: 44 मीटर

खंड – ग (Section C) – लघु उत्तरीय प्रश्न (3 अंक)

8. 4000 में से कौन सी छोटी संख्या घटाएं कि पूर्ण वर्ग बन जाए? वर्गमूल भी बताएं।

4000 के निकटतम छोटा पूर्ण वर्ग 3969 है (63² = 3969, 64² = 4096)।
शेषफल = 4000 – 3969 = 31।
अतः 31 घटाना होगा।

घटाई जाने वाली संख्या: 31, वर्गमूल: 63

9. सरल कीजिए: (a+b)(2a-3b+c) – (2a-3b)c

= [a(2a-3b+c) + b(2a-3b+c)] – [2ac – 3bc]
= [2a² – 3ab + ac + 2ab – 3b² + bc] – 2ac + 3bc
= 2a² – ab + ac – 3b² + bc – 2ac + 3bc

उत्तर: 2a² – 3b² – ab – ac + 4bc

10. (i) एक व्यक्ति बीमार पड़ गया, अब काम कितने दिन में होगा? (शुरुआत में: 2 व्यक्ति, 3 दिन)
(ii) एक दिन में काम पूरा करने के लिए कितने व्यक्ति चाहिए?

कुल काम = 2 × 3 = 6 इकाई।
(i) बचे व्यक्ति = 1। समय = 6 / 1 = 6 दिन।
(ii) 1 दिन में काम करने के लिए व्यक्ति = 6 / 1 = 6 व्यक्ति।

उत्तर: (i) 6 दिन, (ii) 6 व्यक्ति

खंड – घ (Section D) – दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक)

11. 44(y⁴ – 5y³ – 24y²) को 11y(y-8) से भाग दीजिए।

अंश में y² कॉमन लें: 44y²(y² – 5y – 24)
गुणनखंड करें: (y² – 5y – 24) = (y-8)(y+3)
भाग: [44y²(y-8)(y+3)] / [11y(y-8)]

उत्तर: 4y(y+3)

12. हल कीजिए: 5x – 2(2x – 7) = 2(3x – 1) + 7/2

5x – 4x + 14 = 6x – 2 + 3.5
x + 14 = 6x + 1.5
14 – 1.5 = 6x – x → 12.5 = 5x
x = 12.5 / 5 = 2.5

उत्तर: x = 2.5

13. आलेख (Graph) प्रश्न: (a) ऊर्ध्वाधर अक्ष पैमाना (b) अंतिम दो घंटों में दूरी

(a) पैमाना: आँकड़े 40, 80, 120, 160 हैं, इसलिए 1 इकाई = 20 किमी या 40 किमी उपयुक्त है।
(b) दूरी: 9:30 बजे (160 किमी) – 7:30 बजे (80 किमी) = 80 किमी।

उत्तर: (a) 1 इकाई = 40 किमी, (b) 80 किमी

खंड – ङ (Section E) – केस स्टडी प्रश्न (4 अंक)

14. रवि का ऋण (₹ 7000, 2 वर्ष): साधारण ब्याज vs चक्रवृद्धि ब्याज

(i) साधारण ब्याज: SI = (7000 × 5 × 2) / 100 = ₹ 700
(ii) योजना I (कुल राशि): 7000 + 700 = ₹ 7700
(iii) योजना II (चक्रवृद्धि राशि): A = 7000(1 + 5/100)² = 7000(1.05)² = ₹ 7717.5

अथवा: योजना I बेहतर है (कम भुगतान)।

15. त्रिभुज और स्ट्रॉ (10, 8, 6, 3 सेमी)

(i) त्रिभुज का प्रकार: विषमबाहु (Scalene), क्योंकि भुजाएँ असमान हैं।
(ii) कोण: 6, 8, 10 पाइथागोरस त्रिक हैं (6²+8²=10²), अतः यह समकोण त्रिभुज है।
(iii) आकाश (त्रिभुज नहीं बना): 10, 6, 3 (क्योंकि 6+3=9 < 10)।

अथवा: सोनिया (समकोण): 6 सेमी, 8 सेमी, 10 सेमी।

16. सामुदायिक भवन (स्तंभ और छत)

(i) एक स्तंभ का क्षेत्रफल (CSA): 2πrh = 2 × (22/7) × 0.7 × 5 = 22 m²।
(ii) कैन की संख्या: 22 / 10 = 2.2 → 3 कैन।
(iii) पेंटिंग लागत: कुल क्षेत्रफल = 4 × 22 = 88 m²। लागत = 88 × 20 = ₹ 1760।
अथवा (छत निर्माण): आयतन = 10 × 10 × 0.25 = 25 m³। लागत = 25 × 60 = ₹ 1500।

कक्षा 8 गणित – वैकल्पिक प्रश्नों के हल

नीचे प्रश्न पत्र में दिए गए वैकल्पिक प्रश्नों (Internal Choice / अथवा) के विस्तृत हल दिए गए हैं:

खण्ड-ख (Section-B)

प्रश्न 4 (अथवा): खिलौना कार का क्रय मूल्य

प्रश्न: एक खिलौना कार का विक्रय मूल्य ₹ 540 है। यदि लाभ 20% है, तो क्रय मूल्य क्या है?

हल:
दिया गया है: SP = ₹ 540, Profit = 20%
सूत्र: CP = (SP × 100) / (100 + Profit%)

मान रखने पर:
CP = (540 × 100) / (100 + 20)
CP = (540 × 100) / 120
CP = 4.5 × 100 = 450

उत्तर: खिलौने का क्रय मूल्य ₹ 450 है।

खण्ड-ग (Section-C)

प्रश्न 9 (अथवा): बीजीय व्यंजकों का घटाव

प्रश्न: 4c(-a + b + c) में से 3a(a+b+c) – 2b(a-b+c) को घटाइए।

हल:

पहला पद (First Term):
4c(-a + b + c) = -4ac + 4bc + 4c²
दूसरा पद (Second Term):
3a(a+b+c) – 2b(a-b+c)
= (3a² + 3ab + 3ac) – (2ab – 2b² + 2bc)
= 3a² + 3ab + 3ac – 2ab + 2b² – 2bc
= 3a² + 2b² + ab – 2bc + 3ac
घटाने पर (Subtraction):
(-4ac + 4bc + 4c²) – (3a² + 2b² + ab – 2bc + 3ac)
चिन्ह बदलने पर:
-4ac + 4bc + 4c² – 3a² – 2b² – ab + 2bc – 3ac

उत्तर: -3a² – 2b² + 4c² – ab + 6bc – 7ac

खण्ड-घ (Section-D)

प्रश्न 11 (अथवा): गुणनखंड कीजिए

(i) p⁴ – 81

हल:
= (p²)² – (9)²
= (p² – 9)(p² + 9)
= (p² – 3²)(p² + 9)
उत्तर: (p – 3)(p + 3)(p² + 9)

(ii) 25a² – 4b² + 28bc – 49c²

हल:
अंतिम तीन पदों में से ‘-‘ कॉमन लेने पर:
= 25a² – (4b² – 28bc + 49c²)
= (5a)² – [(2b)² – 2(2b)(7c) + (7c)²]
= (5a)² – (2b – 7c)²
सूत्र a² – b² का प्रयोग करने पर:
= [5a – (2b – 7c)] [5a + (2b – 7c)]
उत्तर: (5a – 2b + 7c)(5a + 2b – 7c)

प्रश्न 13 (अथवा): आलेख का अध्ययन

(i) छात्र को किस विषय में पूरे अंक मिले?
आलेख में Test I (ठोस रेखा) में गणित 10 पर है।
उत्तर: गणित (Maths)
(ii) टेस्ट II में न्यूनतम अंक किस विषय में मिले?
Test II (बिंदुदार रेखा) का सबसे निचला बिंदु 6 अंक पर है।
उत्तर: अंग्रेजी और हिंदी
(iii) किस टेस्ट में प्रदर्शन बेहतर था?
Test I के कुल अंक: 7 + 8 + 10 + 6 + 5 = 36
Test II के कुल अंक: 6 + 6 + 8 + 9 + 8 = 37
उत्तर: टेस्ट II (Test II) में प्रदर्शन बेहतर था।

खण्ड-ङ (Section-E)

प्रश्न 14 (अथवा): ब्याज की तुलना

संदर्भ: रवि ₹7000 का ऋण 2 साल के लिए 5% दर पर लेता है।

1. योजना I (साधारण ब्याज):
SI = (P × R × T) / 100 = (7000 × 5 × 2) / 100 = ₹ 700

2. योजना II (चक्रवृद्धि ब्याज):
Amount = 7000(1 + 5/100)² = 7000(1.05)² = 7717.5
CI = 7717.5 – 7000 = ₹ 717.5

उत्तर: योजना I (साधारण ब्याज) बेहतर है क्योंकि इसमें ब्याज कम (₹700) है।

प्रश्न 15 (अथवा): त्रिभुज की पहचान

प्रश्न: सोनिया ने तीन स्ट्रॉ (A=10cm, B=8cm, C=6cm) का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज बनाया। कारण बताइए।

हल:
पाइथागोरस प्रमेय (कर्ण² = आधार² + लंब²) की जाँच करने पर:
6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 100
चूँकि 100 = 100, अतः यह समकोण त्रिभुज है।
उत्तर: स्ट्रॉ A (10cm), B (8cm), और C (6cm)

प्रश्न 16 (अथवा): निर्माण लागत

प्रश्न: छत (10m × 10m × 25cm) के निर्माण के लिए ठेकेदार को भुगतान की जाने वाली राशि (दर: ₹60 प्रति m³) ज्ञात करें।

हल:
ऊँचाई = 25 cm = 0.25 m
आयतन = 10 × 10 × 0.25 = 25 m³
कुल लागत = आयतन × दर
कुल लागत = 25 × 60 = 1500
उत्तर: ₹ 1500