कक्षा 9वीं गणितवार्षिक परीक्षा हल 2024-25

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खंड – अ (Section A)

1. यदि (1, 2) समीकरण x + 3y = p का एक हल है, तो p का मान है:

समीकरण में x = 1 और y = 2 रखने पर:
1 + 3(2) = p → 1 + 6 = 7

उत्तर: (c) 7

2. बहुपद 2x² + 2x – 4 में x² का गुणांक (coefficient) है:

x² के साथ गुणा होने वाली संख्या 2 है।

उत्तर: (a) 2

3. यदि दो त्रिभुज ABC और XYZ सर्वांगसम हैं (ΔABC ≅ ΔXYZ), तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?

सर्वांगसमता नियम (CPCT) के अनुसार संगत भाग बराबर होते हैं (A ↔ X, B ↔ Y, C ↔ Z)।
AC भुजा XZ के संगत है, XY के नहीं।

उत्तर: (d) AC = XY

4. √3 एक ______ संख्या है।

किसी भी अभाज्य संख्या का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या होती है।

उत्तर: (d) अपरिमेय (Irrational)

5. यदि एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 180 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल होगा:

भुजा (a) = परिमाप / 3 = 180 / 3 = 60 सेमी।
क्षेत्रफल = (√3 / 4) a² = (√3 / 4) (60)² = 900√3 सेमी²।

उत्तर: (b) 900√3 cm²

6. यदि कोई कोण अपने संपूरक (supplement) के बराबर है, तो वह कोण है:

x = 180 – x → 2x = 180 → x = 90°।

उत्तर: (b) 90°

7. बिंदु (9, -7) किस चतुर्थांश (quadrant) में स्थित है?

यहाँ x धनात्मक (+) है और y ऋणात्मक (-) है। यह चौथे चतुर्थांश की स्थिति है।

उत्तर: (d) IV

8. ΔPRS और ΔQPT में उभयनिष्ठ (common) कोण है:

दोनों त्रिभुजों के नाम में ‘P’ शीर्ष मौजूद है।

उत्तर: (b) ∠P

9. यूक्लिड के अभिगृहीतों (axioms) की संख्या है:

यूक्लिड ने 7 अभिगृहीत दिए हैं।

उत्तर: (b) 7

10. बहुपद P(x) = x³ + 1 के लिए P(-1) का मान है:

P(-1) = (-1)³ + 1 = -1 + 1 = 0।

उत्तर: (d) 0

11. एक त्रिभुज की भुजाएँ 2:3:5 के अनुपात में हैं और परिमाप 800 सेमी है। सबसे छोटी भुजा की लंबाई है:

2x + 3x + 5x = 800 → 10x = 800 → x = 80।
सबसे छोटी भुजा = 2x = 2 × 80 = 160 सेमी।

उत्तर: (c) 160 cm

12. वह चतुर्भुज जिसके विकर्ण बराबर नहीं हैं परंतु एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं:

यह गुण समचतुर्भुज (Rhombus) का है।

उत्तर: (c) समचतुर्भुज

13. दो समान शंक्वाकार टोपियों का आयतन समान है और त्रिज्याओं का अनुपात 1:2 है। ऊँचाइयों का अनुपात होगा:

आयतन समान है: (1/3)πr₁²h₁ = (1/3)πr₂²h₂
(r₁/r₂)² × (h₁/h₂) = 1 → (1/2)² × (h₁/h₂) = 1
h₁/h₂ = 4/1

उत्तर: (b) 4:1

14. अंतराल 15-25, 25-35, 35-45 में संख्या 35 किस वर्ग में सम्मिलित है?

अपवर्जी (exclusive) विधि में, उच्च सीमा को अगले अंतराल में गिना जाता है।

उत्तर: (a) 35-45

15. (2¹⁰)^2/5 × 5 बराबर है:

2^{(10 × 2/5)} × 5 = 2⁴ × 5 = 16 × 5 = 80।

उत्तर: (a) 80

16. अर्धवृत्त के व्यास द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण है:

अर्धवृत्त का कोण समकोण (90°) होता है।

उत्तर: (d) 90°

17. बहुपद 7x + 14 के शून्यकों की संख्या है:

यह एक रैखिक बहुपद (घात 1) है, इसलिए इसका केवल 1 शून्यक होगा।

उत्तर: (d) 1

18. 3.5 मीटर त्रिज्या वाले अर्धगोलाकार गुंबद को ₹ 600/m² की दर से बाहर से रंगने की लागत:

CSA = 2πr² = 2 × (22/7) × 3.5 × 3.5 = 77 m²।
लागत = 77 × 600 = 46,200 रुपये।

उत्तर: (a) 46200

19. अभिकथन (A): वृत्त की परिधि पर किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड जीवा कहलाता है。
तर्क (R): त्रिज्या सबसे लंबी जीवा है।

अभिकथन (A) सही है। तर्क (R) गलत है क्योंकि वृत्त की सबसे लंबी जीवा ‘व्यास’ होती है।

उत्तर: (c) अभिकथन (A) सही है लेकिन तर्क (R) गलत है।

20. अभिकथन (A): यदि शंकु की ऊँचाई 24 सेमी और आधार का व्यास 14 सेमी है, तो तिर्यक ऊँचाई 15 सेमी है。
तर्क (R): शंकु की ऊँचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

त्रिज्या r = 7, ऊँचाई h = 24। तिर्यक ऊँचाई l = √(7² + 24²) = 25 सेमी। अभिकथन गलत है।

उत्तर: (d) अभिकथन (A) गलत है लेकिन तर्क (R) सही है।

खंड – ब (Section B)

21. यदि दो गोलों के आयतन का अनुपात 8:27 है, तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

आयतन अनुपात (r₁/r₂)³ = 8/27 → r₁/r₂ = 2/3।
क्षेत्रफल अनुपात (r₁/r₂)² = (2/3)² = 4/9।

अनुपात = 4:9

अथवा (OR): 21 सेमी त्रिज्या वाले अर्धगोले का वक्र और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
CSA = 2πr² = 2772 सेमी²।
TSA = 3πr² = 4158 सेमी²।

22. घात 3 वाले द्विपद (Binomial) का एक उदाहरण दीजिए।

उदाहरण: x³ + 2x

23. यदि ΔABC ≅ ΔDEF तो: (i) ∠C = ? (ii) DF = ?

(i) ∠C = ∠F (CPCT)
(ii) DF = AC (CPCT)

24. जाँच कीजिए कि क्या -2 और 2 बहुपद x + 2 के शून्यक हैं?

P(-2) = -2 + 2 = 0 (हाँ)।
P(2) = 2 + 2 = 4 (नहीं)।

25. एक शंकु की त्रिज्या 8 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14)।

तिर्यक ऊँचाई l = √(8² + 15²) = 17 सेमी।
CSA = πrl = 3.14 × 8 × 17 = 427.04 सेमी²।

खंड – स (Section C)

26. सरल कीजिए: (x+y+z)² – (x-y-z)²

a² – b² सूत्र से: (a+b)(a-b)
(a+b) = 2x और (a-b) = 2y + 2z।

उत्तर: 4xy + 4xz

27. चित्र में, यदि ∠POR : ∠ROQ = 5:7 है, तो सभी कोण ज्ञात कीजिए।

5x + 7x = 180 → 12x = 180 → x = 15।
∠POR = 75°, ∠ROQ = 105°।

कोण: 75°, 105°, 75°, 105°।

28. कार्तीय तल से संबंधित प्रश्न:

(i) क्षैतिज रेखा: x-अक्ष, ऊर्ध्वाधर रेखा: y-अक्ष।
(ii) प्रतिच्छेद बिंदु: मूल बिंदु (Origin)।अथवा (ग्राफ आधारित):
(i) (-3, -5) बिंदु E है।
(ii) G की कोटि -4 है।
(iii) D का भुज 6 है।

29. सिद्ध कीजिए कि विकर्ण एक समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

समांतर चतुर्भुज ABCD और विकर्ण AC में:
एकांतर कोण समान होते हैं और AC उभयनिष्ठ है।

ASA नियम से ΔABC ≅ ΔCDA।

30. 3/5 और 4/5 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

अंश और हर को 4 से गुणा करें: 12/20 और 16/20।

संख्याएँ: 13/20, 14/20, 15/20।

31. सिद्ध कीजिए कि वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।

दिया है AB = CD। त्रिभुज AOB और COD में:
AO=CO, BO=DO (त्रिज्याएँ), AB=CD (दिया है)।

SSS नियम से ΔAOB ≅ ΔCOD, अतः ∠AOB = ∠COD।

खंड – द (Section D)

32. बारंबारता बहुभुज और तुलना

सेक्शन A में उच्च अंक (30-50) वाले छात्र अधिक हैं।

सेक्शन A का प्रदर्शन बेहतर है।

33. यदि a = (√5 – √3)/(√5 + √3) और b = (√5 + √3)/(√5 – √3) हो, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।

a = 4 – √15, b = 4 + √15।
a + b = 8 और ab = 1।
a² + b² = (a+b)² – 2ab = 64 – 2।

उत्तर: 62

34. (a) गुणनखंड: x² – 22x + 120 (b) शेषफल ज्ञात कीजिए (3x⁴ – 4x³ – 3x – 1) ÷ (x – 1)

(a) x² – 12x – 10x + 120 = (x-12)(x-10)।
(b) x = 1 रखने पर: 3(1) – 4(1) – 3(1) – 1 = -5।

शेषफल: -5

35. सिद्ध कीजिए AP = AQ (जहाँ AB=AD, ∠1=∠2, ∠3=∠4)

1. SAS से ΔABC ≅ ΔADC → ∠B = ∠D।
2. ASA से ΔABP ≅ ΔADQ।

अतः AP = AQ (CPCT)।

खंड – ई (Section E)

36. आयताकार पार्क और त्रिभुजाकार कोने

(i) अर्ध-परिधि s = 15 मीटर।
(ii) पार्क का क्षेत्रफल = 6660 m²।
(iii) घास का क्षेत्रफल = 6660 – (5 × 30) = 6510 m²।

अथवा (लागत): 150 × 95 = 14,250 रुपये।

37. STD बूथ (समबाहु त्रिभुज PQR)

(i) समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle)।
(ii) जीवा PQ, चाप PQ।
(iii) ∠QOR = 2 × 60° = 120°।

अथवा: ∠OQR = 30°।

38. जन्मदिन की मिठाइयाँ (2 प्रति बच्चा, 1 प्रति वयस्क)

(i) समीकरण: y = 2x + 8।
(ii) अपरिमित रूप से अनेक (Infinitely many) हल।
(iii) यदि y=108, तो 2x = 100 → x = 50 बच्चे।

अथवा: 3x+2y=9 के हल: (1, 3) और (3, 0)।

यहाँ आपके प्रश्न पत्र में दिए गए वैकल्पिक (Optional/OR) प्रश्नों के हल हिंदी में दिए गए हैं:

खंड-ब (Section B)

प्रश्न 21 (अथवा/OR): 21 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
- दिया है: त्रिज्या (r) = 21 cm.
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA): $CSA = 2πr 2 = 2 \times (22/7) \times 21 \times 21 = 44 \times 3 \times 21 = 2772 cm 2$
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): $TSA = 3πr 2 = 3 \times (22/7) \times 21 \times 21 = 66 \times 3 \times 21 = 4158 cm 2$

प्रश्न 23 (अथवा/OR): दो समान _______ वाले वृत्त सर्वांगसम हैं और दो समान _______ वाले वर्ग सर्वांगसम हैं।

हल:
- दो समान त्रिज्याओं (radii) वाले वृत्त सर्वांगसम हैं।
- दो समान भुजाओं (sides) वाले वर्ग सर्वांगसम हैं।

खंड-स (Section C)

प्रश्न 28 (अथवा/OR): दिए गए चित्र के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए

[Image of cartesian plane graph with points]

हल:
1. (-3, -5) द्वारा दर्शाए गए बिंदु का नाम:
  ग्राफ में x = -3 और y = -5 पर बिंदु E स्थित है।
2. बिंदु G की कोटि (Ordinate) क्या है?
  बिंदु G के निर्देशांक (2, -4) हैं। कोटि (y-अक्ष मान) -4 है।
3. बिंदु D का भुज (Abscissa) क्या है?
  बिंदु D के निर्देशांक (6, 2) हैं। भुज (x-अक्ष मान) 6 है।

प्रश्न 29 (अथवा/OR): एक समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।

[Image of parallelogram diagonal bisecting angles]

हल:
- दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जहाँ AD || BC और AB || DC है। विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है, अर्थात ∠DAC = ∠BAC … (i)
- सिद्ध करना है: AC, ∠C को भी समद्विभाजित करता है (∠DCA = ∠BCA)।
- प्रमाण:
  - चूँकि AD || BC और AC एक तिर्यक रेखा है:
    ∠DAC = ∠BCA (एकांतर अंतः कोण) … (ii)
  - चूँकि AB || DC और AC एक तिर्यक रेखा है:
    ∠BAC = ∠DCA (एकांतर अंतः कोण) … (iii)
  - समीकरण (i) से ∠DAC = ∠BAC है।
  - अतः समीकरण (ii) और (iii) का उपयोग करने पर:
    ∠BCA = ∠DCA
- निष्कर्ष: अतः, विकर्ण AC, ∠C को समद्विभाजित करता है।

खंड-द (Section D)

प्रश्न 32 (अथवा/OR):
(i) आँकड़ों को निरूपित करने के लिए एक आयतचित्र (Histogram) बनाइए।
(ii) गृहकार्य पर सबसे कम समय और सबसे अधिक समय बिताने वाले छात्रों का अंतर ज्ञात कीजिए।

हल:
- (i) आयतचित्र: यह आपको ग्राफ पेपर पर बनाना होगा। x-अक्ष पर “घंटे” (0-5, 5-10, आदि) और y-अक्ष पर “बारंबारता” (छात्रों की संख्या) लें। 0-5 के लिए 8 की ऊँचाई वाला आयत, 5-10 के लिए 12 वाला, आदि बनाएँ।
- (ii) अंतर ज्ञात करना:
  - सबसे कम समय (0-5 घंटे) बिताने वाले छात्र = 8
  - सबसे अधिक समय (20-25 घंटे) बिताने वाले छात्र = 5
  - अंतर = 8 – 5 = 3

प्रश्न 35 (अथवा/OR): दी गई आकृति में ΔABC और ΔDEF समद्विबाहु त्रिभुज हैं तथा ∠BAC = ∠EDF है।
(i) सिद्ध कीजिए कि ΔABC ≅ ΔDEF है।
(ii) यदि ∠BAC = 30° है तो ∠DFE ज्ञात कीजिए।

[Image of congruent isosceles triangles]

हल:
- (i) सर्वांगसमता सिद्ध करना:
  चित्र में दिए गए चिह्नों (markings) के अनुसार:
  - AB = DE (दिया है/चिह्नित है)
  - AC = DF (दिया है/चिह्नित है)
  - ∠BAC = ∠EDF (प्रश्न में दिया है)
  - अतः, SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से:
    ΔABC ≅ ΔDEF
- (ii) ∠DFE का मान:
  - चूँकि ΔDEF एक समद्विबाहु त्रिभुज है (DE = DF), तो इसके सम्मुख कोण बराबर होंगे: ∠DEF = ∠DFE।
  - ΔABC ≅ ΔDEF है और ∠BAC = 30°, तो ∠EDF = 30° होगा।
  - त्रिभुज के कोण योग गुण से: $∠EDF + ∠DEF + ∠DFE = 180° 30° + ∠DFE + ∠DFE = 180° 2∠DFE = 150° ∠DFE = 75°$

खंड-ई (Section E – केस स्टडी)

प्रश्न 36 (अथवा/OR): फूल वाले पौधे लगाने की लागत ₹ 95 प्रति m² है तो फूल वाले पौधे लगाने की कुल लागत ज्ञात कीजिए।

हल:
- पार्क में 4 कोने और 1 केंद्र है, यानी कुल 5 त्रिभुजाकार क्षेत्र हैं जहाँ फूल लगाए जाने हैं।
- त्रिभुज की भुजाएँ: 5 मी, 12 मी, 13 मी। यह एक समकोण त्रिभुज है (5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²)।
- एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × लंब = (1/2) × 5 × 12 = 30 m²।
- 5 त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल = 5 × 30 = 150 m²।
- कुल लागत = क्षेत्रफल × दर $= 150 \times 95 = 14,250$
- उत्तर: ₹ 14,250

प्रश्न 37 (अथवा/OR): यदि OQ, ∠PQR का समद्विभाजक है तो ∠OQR का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
- प्रश्न के अनुसार, तीनों बूथ (P, Q, R) एक-दूसरे से समान दूरी पर हैं, जिसका अर्थ है कि ΔPQR एक समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) है।
- समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है। अतः ∠PQR = 60°।
- दिया है कि OQ, ∠PQR का समद्विभाजक है।
- ∠OQR = (1/2) × ∠PQR
  = (1/2) × 60° = 30°
- उत्तर: 30°

प्रश्न 38 (अथवा/OR): समीकरण 3x + 2y = 9 के दो हल ज्ञात कीजिए।

हल:
1. माना x = 1: $3(1) + 2y = 9 \Rightarrow 3 + 2y = 9 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3 पहला हल: (1, 3)$
2. माना y = 0: $3x + 2(0) = 9 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3 दूसरा हल: (3, 0)$